sec xa 解原式 dx cosx d sin x 1+sin x In coSx COS x sIn x sIn x 1+sin x n +C=Inlsecx+tan x+C COSX 或原式=se tan x+ secx secx tan x+secx dx tanx secx tanx t sec x d(sec x+tan x) In x+tan x+C tan x+sec x 同理可得∫cox= In cSc x+
11 (5) sec xdx 1 cos dx x 解 原式 或原式 tan sec sec tan sec x x x dx x x 同理可得 csc xdx ln csc x cot x C 2 2 cos sin cos 1 sin x d x dx x x 1 1 sin ln 2 1 sin x C x 2 1 1 sin ln 2 cos x C x 2 sec tan sec tan sec x x x dx x x (sec tan ) tan sec d x x x x ln sec x tan x C ln sec x tan x C
例11求下列各式的不定积分 1) sin xdx 解原式 COS 2X dx-cos 2xdx] dx-cos 2xd(2x=x-=sin 2x+C 24 同理可得∫cos2xdk=x+-sm2x+C (2) sin'xdx 解原式=sm2 xdx cosx=jo2x-) id cos x coS x-cOSx+C 结论4:一般地,对形如∫sin"xo!syxh这样的不定积分
12 2 (1) sin xdx 1 cos 2 2 x dx 解 原式 1 [ cos 2 ] 2 dx xdx 1 1 cos 2 (2 ) 2 4 dx xd x 1 1 sin 2 2 4 x x C 例11 求下列各式的不定积分 同理可得 2 1 1 cos sin 2 2 4 xdx x x C 结论4: 一般地, 对形如 sin , cos n n xdx xdx 3 (2) sin xdx 2 sin xdx cos x 解 原式 2 (cos x 1)d cos x 1 3 cos cos . 3 x x c 这样的不定积分
n为偶数时应先降次后再积分;当n为奇数时应先凑微分 再积分 (3)sin xcos xdx 解原式=「sin2 xd sinx=sin3x+C 般地对形如sm" cos"xo这样的不定积分 若nm,且一奇一偶时,则应凑奇次幂的三角函数; 若同为偶,则化为jsim" xdx, cos"xd来积分 若n=m则化为∫2sm2x>2来积分
13 当n为偶数时应先降次后再积分;当n为奇数时应先凑微分 再积分; 2 (3) sin xcos xdx 2 1 3 sin sin sin 3 xd x x C 解 原式 sin cos n m x xdx 一般地,对形如 这样的不定积分 若n≠m,且一奇一偶时,则应凑奇次幂的三角函数; 若同为偶,则化为 sin , cos n n xdx xdx 来积分. 1 sin 2 2 n n m x dx 若 ,则化为 ( ) 来积分
f4 sin mxsin ndx 对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分 解原式=jom-mnx=(m+n) sin(m-n)x sin(m+n)x 2(m-n)2(m+n)
14 (4) sin mxsin nxdx 1 [cos( ) cos( ) ] 2 m n x m n x dx 解 原式 对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分. sin( ) sin( ) 2( ) 2( ) m n x m n x C m n m n
课堂练习:求下列各式 + 2xdx 3. 3xe dx ∫ cos Xa sIn x cos x
15 课堂练习: 求下列各式 3 2 1. 1 2 ; 2. ; 3. 3 ; x e x x xdx e dx x e dx 12 23 2 4. ; 5. cos ; 6. sin cos ; x a dx x xdx x xdx