§4.3函数的单调性 单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要 内容.它既决定着函数递增和递减的状况,又有助 于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描 绘函数的图形等 一函数的单调性 1.(第一章)单调增加(或减少)函数的几何解释:对应 曲线是上升或下降的
1 1.(第一章) 单调增加(或减少)函数的几何解释: 对应 曲线是上升或下降的. §4.3 函数的单调性 单调性是函数的重要性态之一, 也是本章主要 内容. 它既决定着函数递增和递减的状况, 又有助 于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描 绘函数的图形等. 一.函数的单调性
y=f(x) f(x2) y=f(x) f(x, f(x f(x2) 用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法 但繁!下面讨论如何用导数来判断函数的单调性
2 2 x 1 f x( ) 2 f x( ) y= ƒ(x) o x x y y x1 o 1 x 2 x 1 f x( ) 2 f x( ) y= ƒ(x) 用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法. 但繁! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性
从上图可看出:当曲线为上升(或下降)时,其上各点切 线与x轴正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率tm是非 负(或非正)的 根据导数的几何意义知函数f(x)单调增加(或减少)时,总有 f"(x)≥0(或∫(x)≥0 可见函数的单调性与导数的符号有关 反之,能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?
3 o x o x y y 反之, 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢? f x f x ( ) 0( ( ) 0 或 ） 从上图可看出:当曲线为上升(或下降)时,其上各点切 线与x轴正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率tanα是非 负(或非正)的. 根据导数的几何意义知函数ƒ(x)单调增加(或减少)时, 总有 可见函数的单调性与导数的符号有关
定理7(函数单调性的判定方法)设y=f(x)在区间/a,b 上连续,在区间a,b内可导.x∈(a,b,有 (1)若f(x)>0,则f(x)在区间(a,b)内单调增加 (2)若f(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减 即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调
4 定理7.(函数单调性的判定方法) 设y =ƒ(x)在区间[a, b] 上连续, 在区间(a, b)内可导. x a b ( , ), 有 (1) ( ) 0 ( ) ( , ) 若 ，则 在区间 内单调增加 f x f x a b (2) ( ) 0 ( ) ( , ) 若 ，则 在区间 内单调递减 f x f x a b 即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调
证x,x2∈(a,b,x1<x2 由已知f(x)在x1,x2上连续在(x1,x2)可导 根据拉格朗日中值定理,有 f(x2)-f(x1) f(4)(其中ξ∈(x1,x1)) 当"(x)>0时,有f()>0从<(x2)-f(x、8 x2-x1 ∴f(x2)>∫(x1)故由x1,x2的任意性(x)在,b)内单增
5 1 2 1 2 , ( , ), , x x a b x x 1 2 1 2 由已知 在 上连续,在 可导 f x x x x x ( ) [ , ] ( , ) 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ( , ) ) f x f x f x x x x − = − 其中 根据拉格朗日中值定理, 有 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 f x f x f x f x x − − 当 时，有 从而 2 1 f x f x ( ) ( ) 1 2 故由 的任意性, 在( )内单增 x x f x a b , ( ) , . 证