97.2正项级数 正项级数的概念 定义3若数项级数∑中的各项"n≥0m=1,2,), 则称此级数为正项级数 例如 1+(-1) 1+0+1+0+ 处h 2 H=1 注1不少级数的敛散性问题都可归结为它的敛散性问 题请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。 注2因为对任意n∈N均有各项n≥0则有 S,=S+ n+1 于是正项级数的部分和是一个单增数列{sSn}
1 则称此级数为正项级数。 1 n中的 n u = 1 1 1 1 1 ( 1) , 1 0 1 0 2 例如 n n n n − = = + − = + + + + 注1 不少级数的敛散性问题都可归结为它的敛散性问 题.请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。 §7.2 正项级数 一.正项级数的概念 定义3 若数项级数 0( 1,2, ), 各项 u n n = 注2 因为对任意 n N 均有各项 0 un S S u n n n + + 1 1 = + 则有 于是正项级数的部分和是一个单増数列 . Sn
定理6正项级数∑un收敛的充要条件是部分和序列 3Sn}有上界。 证“→”有单调有界准则知极限imSn存在, 从而正项级数收敛 ”若∑“n收敛,则mmSn存在, 由极限存在准则知,S,有界,从而Sn有上界 其等价命题是 “若S,无上界,则limS=+∞,从而正项级数发散。 下面利用此定理导出正项级数是否收敛的几个判别法
2 定理6 正项级数 收敛的充要条件是部分和序列 有上界。 1 n n u = Sn 证 “⇒”有单调有界准则知极限 存在， “⇒”若 收敛, 则 存在, lim n n S → Sn 其等价命题是 lim , n n S → = + 下面利用此定理导出正项级数是否收敛的几个判别法。 从而正项级数收敛. 1 n n u = 由极限存在准则知, lim n n S → Sn 有界, 从而 有上界。 “若 Sn 无上界, 则 从而正项级数发散
定理7(比较判别法)设两个正项级数∑u及∑ 的对应项满足:Ln≤cvn(n=1,2,…,c>0) 则(1)当级数∑vn收敛时,级数∑n也收敛 (大收小收) (2)当级数∑u1发散时,级数∑"也发散。 n=1 (小发大发) 证设∑"n,Σ部分和分别是Sn,T, 因un≤c"n(n=1,2,…,c>0) 于是,Sn=u1+u2+…+Ln≤c(v1+v2+…+vn)=cTn
3 定理7 (比较判别法) 设两个正项级数 的对应项满足: 1 1 n n n n u v = = 及 ( 1,2, , 0) u cv n c n n = 则 (1)当级数 收敛时, 级数 也收敛; 1 n n v = 1 n n u = （大收小收） (2)当级数 1 n n u = 发散时, 级数 1 n n v = 也发散。 （小发大发） 证 设 1 n n v = 1 , n n u = 部分和分别是 , , S Tn n ( 1,2, , 0) 因 u cv n c n n = 1 2 1 2 , ( ) 于是 S u u u c v v v cT n n n n = + + + + + + =
则(1)当级数∑收敛时,工有上界,那么S也有界。 H=1 故级数∑n收敛。 (2)当级数∑"发散时,m=+于是imrn=+o0 故级数∑发散。 注3因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。故 定理中的不等式不一定从首项就开始面满足。 注4当级数∑发散时不一定有级数∑发散。 H=1 例 ∑ n(n1) ≤≤,但∑发散,而 收敛。 n n in(n+1)
4 则 (1)当级数 1 n n v = 收敛时, T n 有上界, 那么S 也有界。 n 故级数 1 n n u = 收敛。 (2)当级数 1 n n u = 发散时, lim , n n S → = + lim n n T → 于是 = + 故级数 1 n n v = 发散。 注3 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。故 定理中的不等式不一定从首项就开始面满足。 注4 当级数 1 n n v = 发散时,不一定有级数 1 n n u = 2 1 1 1 1 1 , ( 1) n n n n n n = + 例 但 发散，而 1 1 n n n( 1) = + 发散。 收敛
侧剪定级数2地2n的散性 解1因"sin|<x(2 3 2 而z∑ 3 收敛,则∑2sy收敛 2.因 n·2n2″ 而∑收敛,则∑收敛 nE n
5 例6 判定级数 1 1 1 1. 2 sin ; 2. 3 2 n n n n n n = = 的敛散性. 2 1. 2 sin ( ) 3 3 n n n 解 因 1 1 2. 2 2 n n n 因 1 2 sin 3 n n n = 1 2 ( ) 3 n n = 而 收敛, 则 收敛; 1 1 2 n n n = 1 1 2 n n = 而 收敛, 则 收敛