第四章导数的应用 §4.1中值定理 f(b)-f(a §4.2罗必达法则 b-a §4.3函数的单调性 84.4函数的极值与最值9 §4.5曲线的凹性与拐点 §4.6函数作图的基本步骤与方法 §4.7导数在经济中的应用
1 第四章 导数的应用 §4.1 中值定理 §4.2 罗必达法则 §4.3 函数的单调性 §4.4 函数的极值与最值 §4.5 曲线的凹性与拐点 §4.6 函数作图的基本步骤与方法 §4.7 导数在经济中的应用 ( ) ( ) '( ) f b f a f b a − = −
第四章导数的应用 导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出 发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本 定理作为桥梁. s41中值定理 微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理 罗尔(Roe)定理 定理1(罗尔定理)设函数∫(x)满足下列条件 (1)在闭区间{a,b上连续 (2)在开区间(ab上可导 (3)f(a)=f(b)
2 第四章 导数的应用 导数是研究函数性质的重要工具. 仅从导数概念出 发并不能充分体现这种工具的作用, 需要微分学的基本 定理作为桥梁. 微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理. §4.1 中值定理 定理1 (罗尔定理)设函数 ƒ(x) 满足下列条件: (1) 在闭区间 [a , b]上连续; (2) 在开区间 (a, b)上可导; (3) ƒ(a) = ƒ(b); 一. 罗尔(Rolle)定理
则在(ab)内至少存在一点ξ,使得∫'(2)=0. y=fu) b x 罗尔定理的几何意义: 函数f(x)在|a,b上的图形是连续曲线弧AB,如果除 端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,且在闭区间[a,b 的两个端点a与b处的纵坐标相同,即f(a)=f(b);此时弦
3 则在(a, b)内至少存在一点ξ , 使得 f ( ) 0. = o b x A B y=f(x) a y 罗尔定理的几何意义: 函数ƒ(x)在[a, b]上的图形是连续曲线弧 AB, 如果除 端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在闭区间[a, b] 的两个端点a与b处的纵坐标相同, 即ƒ(a) = ƒ(b);此时弦
AB平行于x轴;则在弧AB上至少能找到一点C(, f(),使曲线在点C处的切线平行于弦AB,即平行于 x轴,从而该点C处的切线斜率为 y=f(r) B f"()=0. 显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取 得,由此启发了我们的证明思路. 证因f(x)在闭区间[a,b上连续,故由第二章定理16知:
4 显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取 得, 由此启发了我们的证明思路. AB平行于 x 轴; 则在弧 AB 上至少能找到一点C(ξ‚ ƒ(ξ)), 使曲线在点 C 处的切线平行于弦AB, 即平行于 x轴,从而该点C处的切线斜率为 f ( ) 0. = o b x A B y = f(x) a y 1 2 证 因ƒ(x)在闭区间[a, b]上连续, 故由第二章定理16知:
f(x)在[a,b上必有最大值M和最小值m 下面分两种情形讨论 1)若M=m,则f(x)在[a,b上恒为常数.从而 vx∈(a,b),恒有∫(x)=0
5 ƒ(x)在 [a,b]上必有最大值 M 和最小值 m. 下面分两种情形讨论: (1) 若M = m, 则ƒ(x)在[a , b]上恒为常数. 从而 = x a b f x ( , ), ( ) 0. 恒有 o y x y=M