§73任意项级数 本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同 的变号级数任意项级数).如级数 ∑(-1)"及∑ SIn 2n兀 (n+1)! 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法首先讨论其中 的一种各项正负相间的特殊情形——交错级数,它是一种 常见而有实用价值的特殊级数 一.交错级数 定义4正负项相间的级数称为交错级数其一般形式为 ∑ (-1)un=1-l2+3-l4+…+l2x1-l2 H=1 (Ln>0,n=1,2,…)
1 §7.3 任意项级数 本节讨论一般的常数项级数, 即各项符号不尽相同 的变号级数(任意项级数). 如级数 一.交错级数 1 1 1 1 2 ( 1) sin ( 1)! n n n n n n − = = − + 及 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中 的一种各项正负相间的特殊情形 ——交错级数, 它是一种 常见而有实用价值的特殊级数. 定义4 正负项相间的级数,称为交错级数.其一般形式为 1 1 2 3 4 2 1 2 1 ( 1) ( 0, 1,2, ) n n k k n n u u u u u u u u n − − = − = − + − + + − + =
或∑(-1)n=-1+2-n3+u 2k-1+l 2k un>0,n=1,2,… 定理11( Leibnitz判别法)若交错级数∑(-1yn、an>0) 满足条件:(1)un≥n+1(n=1,2,…) (2)lim u =0 n→0 则交错级数收敛,且其和S≤u1,余项Rl|≤um 证因为S2k=(u1-2)+(3-u4)+…+(u2k1-2k 则序列{S2k}单增 而S2k=u1-(u2-u3)-(u4-m5)-…-(2k2-u2k1) 则序列{S2x}有上界 于是limS2k=s≤l1 k→)0
2 1 2 3 4 2 1 2 1 ( 1) n n k k n u u u u u u u − = 或 − = − + − + − − + − 定理11 (Leibnitz判别法) 若交错级数 1 1 ( 1) ( 0) n n n n u u − = − 满足条件: 1 (1) ( 1,2, ); u u n n n = + (2)lim 0 n n u → = 2 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ) S u u u u u u k k k = − + − + + − − S2k 1 . 则交错级数收敛, 且其和 1 R u n n + s u , 证 因为 则序列 单増. 2 1 lim k k S s u → 于是 = 2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 而 S u u u u u u u u k k k k = − − − − − − − − − − u1 2 . 则序列 S k 有上界 余项 ( 0, 1,2, ) u n n =
又因S2+1=S2k+l2k+1 lim s k-)o2k+1 lim Sak t limu2k1=5+0=S k→0 则无论n是奇数还是偶数均有imSn=s. n→0 于是交错级数∑(-1)"u,收敛,且其和S≤ 因Rn=un-un2+…也是交错级数,同样满足定理给 出的两个条件从而Rn|sun 例14判定下列交错级数的敛散性 ∑(-) +(-1) 23 n 解因 n+1 而Imun=im=0→∑(-1)收敛 n
3 2 1 2 2 1 lim lim lim 0 k k k k k k S S u s s + + → → → = + = + = 因 R u u n n n = − + + + 1 2 1 . R u n n + 又因 S S u 2 1 2 2 1 k k k + + = + lim . n n S s → 则无论n是奇数还是偶数均有 = 于是交错级数 1 1 ( 1)n n n u − = − 收敛, 且其和 1 s u . 也是交错级数, 同样满足定理给 出的两个条件.从而 例14 判定下列交错级数的敛散性. 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 2 3 4 n n n n n − − = − = − + − + + − + 1 1 1 ( 1,2, ) 1 u u n n n n n = = = + + 解 因 1 lim lim 0 n n n u → → n 而 = = 1 1 1 ( 1)n n n − = − 收敛
任意常数项级数 由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正 项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的但当我们 考察它的每一项取绝对值后组成的级数—正项级数便 可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了 定义5若级数∑u每项取绝对值构成的级数∑mn|收敛, 则称级数∑un绝对收敛;若级数∑%发散,而级数∑ 收敛,则称级数∑"n条件收敛 例如级数∑(-1)2是绝对收敛的 ∑-1y-1是条件收敛的
4 由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正 项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们 定义5 若级数 每项取绝对值构成的级数 收敛, 1 n n u = 1 n n u = 二.任意常数项级数 可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了. 绝对收敛; 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 例如级数 是条件收敛的. 是绝对收敛的; 1 2 1 1 ( 1)n n n − = − 1 1 1 ( 1)n n n − = − 考察它的每一项取绝对值后组成的级数——正项级数,便 收敛, 则称级数 则称级数 若级数 发散, 而级数 条件收敛
定理12若级数∑"nl收敛,则级数∑"n必定收敛 即绝对收敛的级数必收敛 证设"=2(n+u)=n,un≥0 有0≤n≤{nl,于是∑”收敛 而vn=(n+an)→n=2n-mn→∑收敛 注1所有正项级数的收敛都是绝对收敛 注2一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来 判定任意常数项级数是否绝对收敛,从而收敛
5 定理12 若级数 收敛, 则级数 必定收敛. 即绝对收敛的级数必收敛. 1 n n u = 1 n n u = 1 ( ) 2 n n n v u u = + 0 , n n 有 v u 1 n n v = 于是 2 u v u n n n = − 1 n n u = 证 设 收敛. 收敛. 注1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛. 注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来 判定任意常数项级数是否绝对收敛, 从而收敛. , 0 0 0 n n n u u u = 1 ( ) 2 n n n 而 v u u = +