§33反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则 定理4.设函数y=f(x)在x的某领域内连续且严格单 调,y=f(x)在x处可导,且∫(x)≠0.则y=f(x)的反 函数x=g①y)在y处可导,且 ()=1 或∫"( q'(y) 证明设x=9在点y的改变量是4y≠O DU 4x=(y+4y)-(y, 4y=f(x +4x)-flx
1 定理4. 设函数y =ƒ(x)在 x 的某领域内连续且严格单 调, y =ƒ(x) 在 x 处可导, 且 f′(x)≠0. 则 y=ƒ(x)的反 函数 x=φ(y) 在 y 处可导,且 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) y f x f x y = = 或 §3.3 反函数和复合函数的求导法则 一.反函数的求导法则 证明 设x = φ(y) 在点 y 的改变量是 Δy ≠ 0. 则 Δx = φ( y + Δ y ) – φ(y) , Δy = ƒ( x + Δ x ) – ƒ(x)
由y=f(x)的连续性和单调性及第二章定理14知:反 函数g(也连续和单调则当Ay≠0时,有Ax≠0 △J 当→0时,必有△x→>0 再由y=f(x)的可导性,则 9y)=in△x y→+0△y△x→04yf(x) △ 而∫(x)≠0,则q(y)≠0→f(x)1 (y)
2 由 y = ƒ(x) 的连续性和单调性及第二章定理14知: 反 函数φ(y)也连续和单调.则当Δ y ≠ 0 时,有 Δx ≠ 0 1 , x y y x = 当 0 0 → → y x 时，必有 再由 y = ƒ(x) 的可导性, 则 0 0 1 1 ( ) lim lim ( ) y x x y y f x y x → → = = = 1 ( ) 0, ( ) 0 ( ) . ( ) f x y f x y = 而 则
例8.求函数y=a2(a>O,am≠1)的导数 解(a) Ina =a lna (l yIna 特别地(e)=e 例9.求下列函数的导数 (y=arc sinx ()y=arc cos x B)y=arc tanx (4)y=arc cot x (1)解y= arcsinx(-1<x<1)的反函数是 x=sin y( J (arcsinx) sin y)'cos y v-sinyⅥ- (-1<x<1) 即( arcsin) (-1<x<1)
3 例8. 求函数 y = ax (a>0, a≠1) 的导数. 1 ln 1 1 ( ) ln ln . (log ) x x a y a a y a a a y = = = = 解 例9. 求下列函数的导数. (1) y = arc sin x (2) y = arc cos x (3) y = arc tan x (4) y = arc cot x (1) arcsin ( 1 1) sin ( ) 2 2 y x x x y y = − = − 解 的反函数是 ( ) . x x 特别地 e e = 1 1 ( sin ) (sin ) cos arc x y y = = 2 1 ( sin ) ( 1 1). 1 arc x x x = − − 即 2 2 1 1 ( 1 1) 1 sin 1 x y x = = − − −
同理:( uc cosx)= 1七1 (-1<x<1) (3(arc tan x) (tan y) sec y 1+ tan y 1+x 同理( arc cotx) 1+x
4 1 (3)( tan ) (tan ) arc x y = 2 2 2 1 1 1 sec 1 tan 1 y y x = = = + + 2 1 ( cot ) . 1 arc x x = − + 同理 2 1 ( cos ) ( 1 1) 1 arc x x x = − − − 同理:
复合函数的求导法则 定理5.如果函数u=q(x在点x处可导,=f(u在对 应的点u处可导,则复合函数y=f[q(对在点x处也可 导,且其导数为{∫{p(x)}'=∫'(u)g'(x) 即中=迎.如或兴=:以!函数对中中对自) 证明设x取得改变量△x,中间变量u有相应△ →函数y有相应△y △y△△ 则当△u≠0时,有 △△△r 由u=p(x)可导则必连续→当Ax→>0时△→>0
5 定理5. 如果函数u = φ(x)在点x处可导, y=ƒ(u)在对 应的点u 处可导,则复合函数 y=ƒ[φ(x)] 在点 x 处也可 导, 且其导数为 { [ ( )]}' ( ) ( ) f x f u x = 证明 设 , x x u u 取得改变量 中间变量 有相应 二.复合函数的求导法则 dy dy du dx du dx 即 = x u x 或 y y u = (函数对中,中对自) 函数 . y y 有相应 u 0 , . y y u x u x = 则当 时 有 ( ) 0 0 由 u x x u = → → 可导则必连续 当 时