§4.7导数在经济中的应用 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数(或微 分)在经济中的一些简单的应用 边际分析与弹性分析 边际和弹性是经济学中的两个重要概念.用导数来研 究经济变量的边际与弹性的方法,称之为边际分析与弹性 分析 1.边际函数
1 §4.7 导数在经济中的应用 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或微 分)在经济中的一些简单的应用. 一.边际分析与弹性分析 边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研 究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性 分析. 1.边际函数
定义经济学中,把函数f(x)的导函数∫(x)称为f(x)的边际 函数.在点x的值f(x0)称为f(x)在x处的边际值(或变化 率、变化速度等) ∵∫(x0)=lim f(x0+△x)-f(x) △x→>0 ∫(x0+△x)-f(x0) f(o)+a (lima=0) △ △x→>0 当△→0(即很小时,有《x+A)/(xr(x) 在经济学中,通常取Ax=1,就认为Ax达到很小(再小无意义) 故有 f(x+△x)-f(x0)≈f(x0)
2 定义 经济学中,把函数ƒ(x)的导函数 称为ƒ(x)的边际 函数. 在点 的值 称为ƒ(x)在 处的边际值(或变化 率、变化速度等). f x ( ) 0 x 0 f x ( ) 0 x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x → x + − = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (lim 0) x f x x f x f x x → + − = + = 当 即很小 时 0 ( ) , →x 在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无意义). 故有 0 0 0 f x x f x f x ( ) ( ) + − ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) f x x f x f x x + − 有
实际问题中,略去“近似”二字,就得∫(x在x0处的 边际值∫(xn)的 经济意义:即当自变量x在x的基础上再增加一个 单位时,函数y改变量 例33某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的 函数为 C(x) +60x+2050
3 实际问题中, 略去“近似”二字, 就得ƒ(x)在 处的 边际值 的 0 x 0 f x ( ) 经济意义: 即当自变量 x 在 的基础上再增加一个 单位时, 函数y的改变量. 0 x 例33 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的 函数为 1 2 ( ) 60 2050 4 C x x x = + +
求(1)日产量75件时的总成本和平均成本 (2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量 (3)当日产量为75件时的边际成本 解(1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)795625(元) C(75)75=10608(元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量 △CC(90)-C(75 10125(元/件) △v 90-75
4 求(1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量; (3)当日产量为75件时的边际成本. 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)=7956.25(元) (2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量 C(75)/75=106.08(元/件) (90) (75) 101.25( / ) 90 75 C C C x − = = − 元 件
(3)当日产量为75件时的边际成本 C(x)2+60∴C(5)=C(x)|x=975(元) 注:当销售量为x,总利润为L=L(x)时,称(x)销售量 为x时的边际利润它近似等于销售量为x时再多销售 个单位产品所增加或减少的利润 例34某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是C(x)=100+2x+0.02x2和R(x)=7x+0.01x 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和 300公斤时的边际利润并说明其经济意义
5 (3)当日产量为75件时的边际成本 1 ( ) 60 2 C x x = + 注:当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 为销售量 为x时的边际利润,它近似等于销售量为x时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润. L x ( ) 例34 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和 300公斤时的边际利润.并说明其经济意义. 2 2 C x x x R x x x ( ) 100 2 0.02 ( ) 7 0.01 . = + + = + 和 75 (75) ( ) 97.5( ) C C x x= = = 元