§6.3微积分学基本定理 由§6.1知定积分是一个复杂和式的极限但要想通过 求积分和的极限来得到定积分的值,却非常困难;下面 寻求一种计算定积分的非常简便的新方法—牛顿莱布 尼兹( Netwon- leibniz)公式计算法 积分上限函数 y=f(x 设f(x)在[a,b上连续,x∈[a,b 区间[a,x上方的曲边梯形的面积为 f(x)在区间[ax上的定积分f(x
1 §6.3 微积分学基本定理 由§6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过 求积分和的极限来得到定积分的值, 却非常困难; 下面 寻求一种计算定积分的非常简便的新方法 ——牛顿莱布 尼兹(Netwon-Laibniz)公式计算法. 一. 积分上限函数 设ƒ(x)在[a ,b]上连续, x a b [ , ], 区间[a, x]上方的曲边梯形的面积为 ƒ(x)在区间[a, x]上的定积分 ( ) . x a f x dx
为了区别积分变量与积分上限,特将积分变量记为t, 这是一个关于积分上限x的函数,并记为Φ(x),即 op(x) f(tat 注1Φ(a)=0,Φ(b)=f(x)x 定理5若f(x)在ab上连续,则(x)=J()在b上 可导,且(x)=”/(0=f(x) 证设x、x+△x∈[a,b,则有 x+△x △Φ(x)=①(x+△x)Φ(x f(odt-f(t)dt f(tdt 由积分中值定理得△(x)=f(△x(在x与x+△x之间) 当△x→0时,必有ξ→x,从而
2 为了区别积分变量与积分上限, 特将积分变量记为t, 这是一个关于积分上限x的函数, 并记为Φ(x),即 ( ) ( ) x a = x f t dt 注1 ( ) 0, ( ) ( ) . b a = = a b f x dx 定理5 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 则 ( ) ( ) 在[a, b]上 x a = x f t dt 可导, 且 ( ) [ ( ) ] ( ). x a = = x f t dt f x 证 设x、x+∆x ∈[a, b], 则有 ∆Φ(x)=Φ(x +∆ x)–Φ(x) ( ) ( ) ( ) x x x x x a a x f t dt f t dt f t dt + + = − = 由积分中值定理得∆Φ(x)=ƒ(ξ)∆ x(ξ在x与x +∆ x之间), 当∆ x →0时, 必有ξ→ x , 从而
a(x)=lim △Φ(x) lim f(s)=f(x) △x→>0△x →X 而Φ(a)=f(a,Φ’(b)=f(b) 故vxea61有(x)可导且(x)=(x)d=/x) 注2对于变上限的复合函数有以下两个推论 推论1若f(x)在[a,b上连续,(x)在[a,b上可导,则 d xja f(o)dt=flo(x)].'(x) (被积函数代积分上限且积分上限对x求导) 证变上限函数f(b可看成Y=,=(x)复合而成 则xJ(0b dydy du dxd.=f(u p(x)=fo(x)].o'(x)
3 lim ( ) ( ) x f f x → = = 而 ( ) ( ), ( ) ( ) a f a b f b + + = = 故 有 可导 x a b x [ , ], ( ) , 注2 对于变上限的复合函数有以下两个推论 0 ( ) ( ) lim x x x → x = ( ) [ ( ) ] ( ) x a = = x f x dx f x 且 推论1 若ƒ(x)在[a, b]上连续, (x)在[a, b]上可导, 则 ( ) ( ) [ ( )] ( ) x a d f t dt f x x dx = (被积函数代积分上限且积分上限对x求导) ( ) ( ) ( ), ( ) , x a f t dt Y u u x = = 证 变上限函数 可看成 复合而成 ( ) ( ) x a d dY f t dt dx dx = 则 = f x x [ ( )] ( ) dY du du dx = = f u x ( ) ( )
推论2若f(x)在[ab上连续,1(x)2(x)在[ab上可导, d,1m2(x)g(x)-/(x)q(x dx e(x) 证因/ (x) 1(x) f(t)dt f()dt- f(t)dt q1(x) 则 f(tdt=f[o2(x)] 2(x)-f[,(x)] (x) dx Je(x) 例7计算下列各题 ()o解a∫os:h=csx da Ja 解 d=,(-|ea) dl
4 推论2 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 1 2 ( ), ( ) x x 2 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) x x d f t dt f x x f x x dx = − 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x c c f t dt f t dt f t dt = − 因 例7 计算下列各题 2 0 (1) cos d x t dt dx 2 2 0 cos cos d x t dt x dx = 解 证 在[a, b]上可导, 则 2 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) x x d f t dt f x x f x x dx = − 3 (2) x t a d e dt da 3 x t a d e dt da = 解 3 3 ( ) a t a x d e dt e da − = − 则
(3) sint dt 解 sIn t2t=sinx2-si(x2+1)2(x2+1) sin x- 2xsin(x +1) Te dt) (4)lim 0 x→ te- dt 解lin(bem)2 e ate Im x->0 xe lim = im x->0 +xe·2xx01+2x2
5 2 2 1 (3) sin x x d t dt dx + 2 2 1 sin x x d t dt dx + 解 2 2 2 0 0 2 0 ( ) lim x t x x t e dt te dt → 解 2 2 2 = − + sin 2 sin( 1) x x x 2 2 2 0 0 2 2 lim x t x x x e dt e xe → = 2 2 0 0 2 lim x t x x e dt xe → = 2 2 2 0 2 lim 2 x x x x e e xe x → = + 2 2 2 0 0 2 0 ( ) (4)lim x t x x t e dt te dt → 2 2 2 2 = − + + sin sin( 1) ( 1) x x x 2 0 2 lim 2 x→ 1 2x = = +