§5.3基本积分法 利用直接积分法求出的不定积分是很有限的 为了求出更多函数的不定积分,下面建立一些有效地积分法 凑微分法 例计算 cos xax 分析:此不定积分的被积函数是复合函数在积分表中查不到 这是因为被积函数cos2x的变量是“2x,与积分变量“x不 如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与 积分变量变得相同,那么就可用公式| cos ud=sinu+C (l是x的函数)求出此不定积分
1 利用直接积分法求出的不定积分是很有限的. 一.凑微分法 例 计算 cos 2xdx 分析:此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到. §5.3 基本积分法 为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效地积分法. 这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“ x”不 同. 但如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与 积分变量变得相同, 那么就可用公式 cos udu sin u C (u是x的函数) 求出此不定积分
∴x d2x .cos 2xdx= cos 2x.d(2x) cos 2xd(2x) u=2x- cos udu sinu+Ca回代sin2x+C 注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用 恒等变形将原来的微分d凑成新的微分dp(x)(可不必换元) 使原积分变成一个可直接用积分公式来计算 这种方法称为凑微分法其理论依据为
2 1 cos 2 cos 2 (2 ) 2 xdx x d x 1 2 cos 2 u x udu 令 1 cos 2 (2 ) 2 xd x 1 sin 2 u C 1 sin 2 2 u回代 x C 注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用 恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d(x)(可不必换元), 使原积分变成一个可直接用积分公式来计算. 这种方法称为凑微分法. 其理论依据为 1 2 2 解 dx d x
定理4设∫(m)m=F(m)+C,且=(x)具有连续导数则 ∫ ((x)]d(x)=F[(x)+C 证利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可 [F(q(x)+C]=F2=f((x)·q(x) 注1.定理4中,若i自变量时,当然有∫()m=F()+C 成立当换为q)时,就有∫(x)0(x)=F(x+C 成立.—不定积分的这一性质称为积分形式的不变性 注2.凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的 中间变量变得与积分变量相同.即 ∫/o(x)g(x)凑∫/o(x)d(x)
3 定理4 f (u)du F(u) C, u (x) , 设 且 具有连续导数 则 f [(x)]d(x) F[(x)] C. 证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可. [ ( ( )) ] ( ( )) ( ) F u x x C F u f x x 注1.定理4中,若u为自变量时,当然有 f ( u )d u F ( u ) C 当u 换为(x)时, 就有 f [(x)]d(x) F[(x)] C 成立. ——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性. 注2. 凑微分法的关键是“凑” , 凑的目的是把被积函数的 中间变量变得与积分变量相同. 即 f [(x)](x)dx 凑 f [(x)]d(x). 成立
凑微分”的方法有: 1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式 依据恒等变形的原则,把d凑成do(x).如 Je dr =nJed(2x)=)e2+ (2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分dp(x)如 nx nxd Inx=(n x)+C 方法1较简单,而方法2则需一定的技巧,请同学们务必记牢 以下常见的凑微分公式!
4 (1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如 2 1 2 1 2 (2 ) . 2 2 x x x e dx e d x e C (2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x) .如 “凑微分”的方法有: ln xdx x 方法1较简单, 而方法2则需一定的技巧, 请同学们务必记牢 以下常见的凑微分公式！ 3 2 2 ln ln (ln ) 3 xd x x C
1d=1d(a)=1a(ax+b0ab为常数a≠0) dx a+1 (a≠-1) dx=d(2√x) +1 3. a dx=d dx de e dx=d( na dx d(arcsin x)=-d(arccos x) d(arctan x)=-d(arc cot x) x 6-=dInx d In(1+x) 1+x 7. sin xdx ==d cos x cos xdx=d sin x
5 1 1. dx d(ax) a 1 1 2. ( 1), 1 x dx dx 1 d(ax b)(a,b ,a 0) a 为常数 2 4. (arcsin ) (arccos ) 1 dx d x d x x 1 dx d(2 x ) x 3. , ln x x a a dx d a , x x e dx de ( ) x x e e dx d 2 5. (arctan ) ( cot ) 1 dx d x d arc x x 6. ln , dx d x x ln(1 ) 1 dx d x x 7.sin xdx d cos x, cos xdx d sin x