第七章无穷级教 §7.1数项级数的概念与性质 §7.2正项级数 §7.3任意项级数 §7.4霖级数 §7.5函数的幂级教畏开式
第七章 无穷级数 §7.1 数项级数的概念与性质 §7.2 正项级数 §7.3 任意项级数 §7.4 幂级数 §7.5 函数的幂级数展开式 1 ? n n n a x = =
第七章无穷级数 无穷级数已广泛地应用于工程技术、数理统计、数 值计算及其它领域.无穷级数是研究函数的工具,它既可 作为一个函数或一个数的表达式,又可用它求得一些函 数的近似公式;本章主要介绍无穷级数的概念、性质、 收敛与发散的判别法、幂级数以及一些简单函数的幂级 数展开式。 定义1设有一个无穷序列1,l2 用加号把此序列的项依次连接起来的表达式 1+l2+…+Wn+… 称为无穷级数(简称级数).常缩写为∑,其中第n项矶n H=1 叫做级数的一般项或通项.表达式∑矶n=H1+2+…+n+
2 第七章 无穷级数 定义1 设有一个无穷序列 1 2 , , , , u u un 用加号把此序列的项依次连接起来的表达式 u u u 1 2 + + + + n 称为无穷级数(简称级数).常缩写为 1 , n n u = 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项或通项. 1 2 1 n n n u u u u = 表达式 = + + + + 无穷级数已广泛地应用于工程技术、数理统计、数 值计算及其它领域. 无穷级数是研究函数的工具, 本章主要介绍无穷级数的概念、性质、 作为一个函数或一个数的表达式, 又可用它求得一些函 它既可 数的近似公式； 收敛与发散的判别法、幂级数以及一些简单函数的幂级 数展开式
中前n项的和,称为级数∑"n的部分和,记为Sn即 H=1 ∑ =n1+2+…+l 而式∑4中除去S后其余各项的和称为级数∑u的余项 H=1 记为R,即Rn=n1+un2+ 由级数∑u的第n项u的结构给出了两大类级数 (1)若Ln只是n的函数,就称级数∑为常数项级数; (2)若un是x的函数,就称级数∑un(x)为函数项级数
3 由级数 的第 n 项 的结构给出了两大类级数: 1 n n u = un (1)若 un 只是 n 的函数, 1 n n u = (2)若 是 x 的函数, 1 ( ) n n u x = un 中前 n 项的和, 称为级数 1 n n u = 而式 中除去 后其余各项的和称为级数 的余项, 记为 , 即 的部分和, 记为 Sn 即 1 2 1 n n i n i S u u u u = = = + + + 1 n n u = n S 1 n n u = R n 1 2 . R u u n n n = + + + + 就称级数 为常数项级数; 就称级数 为函数项级数
§7.1数项级数的概念与性质 数项级数的概念 定义2若级数∑"n的部分和数列{Sn}的极限imSn n→ 存在,则称级数∑un收敛;否则就发散,当 lim s=S时称 n→ 级数∑un收敛于S,并把S称为级数∑"n的和,记为 ∑un=+2+…+un+…=S H=1 注1当级数收敛时前m项的和星级数和S的近似值, 它们之间的差值Rn=S-Sn=un-称为级数的 余项泪你的近似值所产生的误差就是余项的绝 对值|R
4 §7.1 数项级数的概念与性质 1 2 1 n n n u u u u S = = + + + + = 它们之间的差值 称为级数的 余项. Sn R S S u u n n n n = − = + + + + 1 2 Sn . R n 一. 数项级数的概念 定义2 若级数 的部分和数列 的极限 存在, 1 n n u = { } Sn lim n n S → 1 n n u = lim n n S S → = 1 n n u = 1 n n u = 并把S称为级数 的和, 记为 则称级数 收敛; 否则就发散;当 时,称 级数 收敛于S, 注1 当级数收敛时,前n项的和 是级数和S 的近似值, 用 作S的近似值所产生的误差,就是余项的绝 对值
倒1讨论级数∑a=a+a+…+a+…的敛散性 解因S=m则imS,=mm=∞,故级数发散 例2判定级数 十 n(n+1)1·22.3 n·(n+1) 的敛散性.若收敛,则求出其和 解因 n n·(n+1)nn+1 且 1.22.3 n(n+1 =(1一)+ nn+ n 所以imSn=lim(1 n→ n+1 故级数收敛,其和为1
5 n 1 a a a a = = + + + + 故级数发散. S na n = lim lim , n n n S na → → = = 例1 讨论级数 的敛散性. 例2 判定级数 1 1 1 1 1 n n n n n ( 1) 1 2 2 3 ( 1) = = + + + + + + 的敛散性. 若收敛, 则求出其和. 解 因 1 1 1 ( 1,2, ) ( 1) 1 u n n n n n n = = − = + + 1 1 1 1 2 2 3 ( 1) 且 Sn n n = + + + + 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 1 n n = − + − + + − + 1 1 n 1 = − + 1 lim lim(1 ) 1 1 所以 n n n S → → n = − = + 故级数收敛, 其和为1. 解 因 则