二、热电子发射： 实验表明，热电子发射的电流密度为 W j=AT2exp Richardson-Dushman公式 kgT 其中A为常数，W为功函数（或脱出功），即电子逸出金 属所需克服的势垒。 根据实验数据作图可以得到一条直线，其斜率给出功函数： 减) 对于该实验规律，金属自由电子论可以给出合理的解释
二、热电子发射： 实验表明，热电子发射的电流密度为 2 exp B W j AT k T æ ö = -ç ÷ è ø 其中A为常数，W为功函数（或脱出功），即电子逸出金 属所需克服的势垒。 Richardson－Dushman公式 根据实验数据作图可以得到一条直线，其斜率给出功函数： 2 1 ln j T T æ ö ç ÷ è ø : 对于该实验规律，金属自由电子论可以给出合理的解释
T=0时，所有电子的能量都不会超过费米能级：E 没有电子可以脱离金属。 T>0时，会有一些电子通过吸收热能获得高于V的能 量，逸出金属表面。 现在从自由电子模型出发推出热电子发射电流密度与温 度关系： h2k21 mw2,.v(k)= hk E(k)= 2 2m m 根据5.2节中给出的分析，系统在波矢空间dk体积内 的状态数为： ped,akd或=
T＝ 0 时，所有电子的能量都不会超过费米能级： 没有电子可以脱离金属。 T > 0 时，会有一些电子通过吸收热能获得高于V0的能 量，逸出金属表面。 现在从自由电子模型出发推出热电子发射电流密度与温 度关系： 0 EF 2 2 1 2 ( ) , ( ) 2 2 k k E k mv v k m m = = \ = h h Q 3 ( )d d d d d d 8 x y z x y z V r k k k k k k k p = 根据 5.2节中给出的分析，系统在波矢空间 体积内 的状态数为： 3 d k
各能级电子占有的几率应服从F-D公式： f(k)= E(k)-4 这里，化学势八可取作E +1 因此，单位体积内电子运动速度在 yx→vx+dvx,yy→Vy+dvy,y:→v+dv, 区同内的电子致日应为：dn=2气贸）dd,d如 设X方向垂直于金属表面，所以只有X方向上速度大于某一特 定值（即动能大于特定值）的电子方可逸出金属表面，即： 2 而对y和z方向电子的速度没有要求，可以是任意值
各能级电子占有的几率应服从F-D 公式： 1 ( ) ( ) exp 1 B f k E k k T m = æ ö - ç ÷ + è ø 这里，化学势 m 可取作 0 EF 因此，单位体积内电子运动速度在 d , d , d , x x x y y y zzz v ® v + v v ® v + v v ® + v v 区间内的电子数目应为： 3 3 1 d 2 ( )d d d 8 x y z m n f v v v v p æ ö = ç ÷ è ø h 设 x 方向垂直于金属表面，所以只有 x 方向上速度大于某一特 定值（即动能大于特定值）的电子方可逸出金属表面，即： 2 0 0 1 2 m x F v > + V B E W 0 2 x V v m ³ 而对 y 和 z 方向电子的速度没有要求，可以是任意值
所以热电子发射电流密度的理论表达式应为： j.=-∫ev,dn 要考虑单位时间内从金属内部可以到达 金属表面的那部分电子，所以乘Vx。 fv(v))dr.dw,udr. dv, m2-E9 +1 因为功函数的量级为几个eV,而一般温度下kT~meV 所以上式可以得到简化：
d x x j = - ev n ò ( ) 3 3 2 d d d 8 x x y z e m v f v v v p æ ö = - ç ÷ è ø ò h v 0 3 3 3 2 0 2 1 2 d d d 4 exp 1 x y z x V F m B m e v v v v mv E k T p ¥ ¥ ¥ -¥ -¥ = - × æ ö - ç ÷ + è ø ò ò ò h 所以热电子发射电流密度的理论表达式应为： 要考虑单位时间内从金属内部可以到达 金属表面的那部分电子，所以乘 vx 。 因为功函数的量级为 几个eV, 而一般温度下 所以上式可以得到简化： k TB : meV
j 9 于是得到： (见后面详细说明) "m到 (见黄昆书p288) —Richardson-Dushman公式 其中 4= 2π2h W='。-E9 在上面的推导中，用到两个积分公式：
( ) 2 0 0 2 3 exp 2 B F x B me k T V E j p k T æ ö - = - -ç ÷ è ø h 2 exp B W j AT k T æ ö \ = -ç ÷ è ø —— Richardson－Dushman公式 其中 2 2 3 2 m B ek A p = - h 0 W = - V E 0 F 在上面的推导中，用到两个积分公式： 0 3 0 2 3 3 2 d d exp exp d 4 2 F y z x x V B B m m e E mv v v v v p k T k T ¥ ¥ ¥ -¥ -¥ æ ö æ ö » - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò ò h 于是得到： （见后面详细说明） (见黄昆书p288)