§2达朗贝尔公式、波的传播 解：引入新变量5=x-at,7=x+at,则 u ouou ou 8ou ou o'u 8u ou ax ag on a52+2 agon on Bu ouou Bu =a .=a1 29 8t on ag) a52 o 70n2 代入方程得关于与7的方程 0L=0。依次关于号 ocon 积 4(5,n)=F(5)+G)FG 积分一次得 (x,)=F(依-t)是价可律 分的单变量函数)，即有 K>
引入新变量 = x − at ， = x + at ，则 + = u u x u 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + = u u u u u x x u − = u u a t u + − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u u u a t u 代入方程得关于 , 的方程 。依次关于 和 积分一次得 （ , 是两个可微 分的单变量函数）,即有 。 0 2 = u u(,) = F( )+ G() FG u(x,t)= F(x −at)+G(x + at) 解： §2 达朗贝尔公式、波的传播
§2达朗贝尔公式、波的传播 又由初始条件 uo=F(x)+G(x)=p(x) (1) 4o=a(-F(x)+G(x)》=(x) (2) 对(2)两边关于变量在x,到x上积分(x,是任意一点) a(F)+Gx+c=∫yada (3)
又由初始条件 u F(x) G(x) (x) t=0 = + = u a( F (x) G (x)) (x) t y=0 = − + = （1） （2） 对（2）两边关于变量在 x0 到 x 上积分（ x0 是任意一点） ( ( ) ( )) ( ) + = − + x x a F x G x c d 0 （3） §2 达朗贝尔公式、波的传播
§2达朗贝尔公式、波的传播 由方程(1)和(3)解出 Foa-taa+a c-at+zwleaa-a 2a 则得问题(T)的解为 4tk小lbt-a叫+ot+am+v@Ha4) 该式称作d'Alembert公式
由方程（1）和（3）解出 ( ) ( ) ( ) = − + x x a c d a F x x 2 0 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) a c d a G x x x 2 x 2 1 2 1 0 = + − 则得问题 (I) 的解为 ( ) ( ) ( ) ( ) + − = − + + + x a t x a t t d a u x t x at x at 2 1 2 1 , （4） 该式称作d'Alembert公式。 §2 达朗贝尔公式、波的传播
§2达朗贝尔公式、波的传播 验证存在性： 定理2.1 设px)∈C2(R),y)EC(R ，则初值问题) 存在唯一的解，它由(4)给出。 正：4=，o'tr-ail+p'(c+am+,l(+ad）-y(-am】 u.-jle"x-a)+g%x+alJ+-bvx+al)-w(s-at) u.-lo(x-atY-a)+o(x+aty]+>lv(x+atk+v(x-at)a] u-jlx-athi+gxratki]+>M(x+atri-W(x-alpiJ-au
验证存在性： 定理 2.1 设 ， ，则初值问题 存在唯一的解 ，它由（4）给出。 (x) C (R) 2 (x) C (R) 1 (I) 证： ( ) ( ) (x at) (x at) a u x at x at x = − + + + + − − 2 1 2 1 ( ) ( ) (x at) (x at) a u x at x at xx = − + + + + − − 2 1 2 1 ( )( ) ( ) (x at)a (x at)a a u x at a x at a t = − − + + + + + − 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) t t xx x at a x at a a u a u x at a x at a 2 2 2 2 2 2 1 2 1 = − + + + + − − = §2 达朗贝尔公式、波的传播
§2达朗贝尔公式、波的传播 又 u-()-o(x)J-ofx) =2a6如+val=v6 故当o∈C2,y∈C时，上式都有意义，且说明u(x,t) 满足方程和初始条件。 证毕
又 u (x) (x) (x) t= = + = 2 1 0 (x)a (x)a (x) a ut t= = + = 2 1 0 故当 ， 时，上式都有意义，且说明 满足方程和初始条件。 证毕。 2 C 1 C u(x,t) §2 达朗贝尔公式、波的传播