§2达朗贝尔公式、波的传播 二、 考虑非齐次方程及齐次初始条件的初值问 ana 齐次化原理(Duhamel原理)设函数o(x,t,t)是问题 (r @u-a'@g=O(t>t) 的解，则函数(x,t)=ox,ttdr是问题(I)的解。 说明两个问题：①问题(）的解如何求？②证明该原理
二、考虑非齐次方程及齐次初始条件的初值问 题 ( ) ( )( ) ( ) = = − + − = − + = = u u x u a u f x t x t II t t t t t xx 0, 0 , , 0 0 0 2 齐次化原理（Duhamel原理）设函数 (x,t; ) 是问题 ( ) ( ) ( ) = = − = = = 0, , 0 2 f x a t II t t t t t xx 的解，则函数 ( ) = ( ) 是问题 的解。 t u x t x t d 0 , , ; (II ) 说明两个问题：①问题 (II) 的解如何求？②证明该原理。 §2 达朗贝尔公式、波的传播
§2达朗贝尔公式、波的传播 ①如果在问题）中令t=t-t，就得到问题 or-aon=0t'>0)） lr-=0.@xlr-o=f(x.r) 由d'Alembert公式得II)的解为 小a,a 那么(）的解为 o.).a 合
①如果在问题 (II) 中令 t = t − ，就得到问题 ( ) ( ) ( ) = = − = = = , ~ 0, ~ 0 0 ~ ~ 0 0 2 f x a t II t t t t t xx 由d'Alembert公式得 (II) 的解为 ( ) ( ) + − = x at x at f d a x t , 2 1 , ; ~ 那么 (II) 的解为 ( ) ( ) ( ) ( ) + − − − = x a t x a t f d a x t , 2 1 , ; §2 达朗贝尔公式、波的传播
§2达朗贝尔公式、波的传播 ②从物理力学的角度分析，把时段[0，t]分成若干小段 △1，=t1-1,0=1,2,.,n),在每个小时段△t,中，fk,t)可 看作与t无关，记(，)=F,2(单位质量上受力)，它 产生的速度的改变量x,1,)人，把它看成是在L,时 刻初速度，则由它产生的定解问题为 0n-a2on=0lt>t） =0.@=f1,A4 其解记为(x,t,△t)，由叠加原理，则 △1，→0
②从物理力学的角度分析，把时段 分成若干小段 ，在每个小时段 中， 可 看作与 无关，记 （单位质量上受力），它 产生的速度的改变量为 ，把它看成是在 时 刻初速度，则由它产生的定解问题为 0,t t t t ( j n) j j j 1,2, , = +1 − = j t f (x,t) t ( ) ( ) j j F x t f x t , , = ( )j j f x,t t j t = t ( ) ( ) = = − = t=t t t=t j j t t xx j f x t t a t t j j , ~ 0, ~ 0 ~ 2 ~ 其解记为 (x,t;t j ,t j ) ，由叠加原理，则 ~ ( ) ( ) = → = n j j j t u x t x t t t j 1 0 , ; , ~ , lim §2 达朗贝尔公式、波的传播
§2达朗贝尔公式、波的传播 又若记o(x,t,t)为如下定解问题 @n-a'@g=O(t>7) @-=0,@,-=f(x.t) 则知(x,tt,△t,)=x,tt,ht,于是 ux,)=im t )Ar,=folx.t)dr 最终，由Duhanmel.原理知问题I)的解为 ,c小-2e地dr-2aa,a
又若记 (x,t; ) 为如下定解问题 ( ) ( ) = = − = = = 0, , 0 2 f x a t t t t tt xx 则知 ~(x,t;t j ,t j ) =(x,t;t j )t j ，于是 ( ) ( ) ( ) = → = = n j t j j t u x t x t t t x t d j 1 0 0 , lim , ; , ; 最终，由Duhanmel原理知问题 (II) 的解为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − − − + − − − = = t x a t x a t t x a t x a t II f d d a f d d a u x t 0 0 , 2 1 , 2 1 , §2 达朗贝尔公式、波的传播
§2达朗贝尔公式、波的传播 三、考虑定解问题 4,-a2un=fx,0-o<x<+∞，t>0) 4,o=o(x,4l-0=r(x(-0<x<+0) 叠加原理： 若4，(x,t)近=1,2，.，n)是定解问题 un-a'ug f(x,t) 40=g(x4叫o=y,d0=1.2.,n） 的解（其中∑f)=∑）=∑，)=)， 那么x,)=∑4x,)是(W川）的解
三、考虑定解问题 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = = − + − = − + = = u x u x x u a u f x t x t III t t t t t xx 0 0 2 , , , 0 叠加原理：若 ui (x,t)(i =1,2, ,n) 是定解问题 ( ) ( ) ( )( ) = = = − = = = u x u x i n u a u f x t t i t t i t t xx i , 1.2. , , 0 0 2 的解（其中 ）， 那么 是 的解。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = n i i n i i n i i f x t f x t x x x x 1 1 1 , , , , ( ) ( ) = = n i i u x t u x t 1 , , (III) §2 达朗贝尔公式、波的传播