复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十二章 球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions

12 Separation of variables in (2)矢量A(q12q2q3)=Ae1+A2+Ae3的散度V·A是一个标量,定义为: 以S记体积元的边界面,dS表示大小为dS,方 向为面积元外法线方向的矢量,则「AdS是A 通过边界面S的通量,而a(q,q2q3)点的散度是 VA=[AdS/d 通过坐标面q1的通量是[(-412dq2hdq 通过坐标面q+d1的通量是[4ddl 通过坐标面q的通量是(4d44, 通过坐标面2+d1的通量是[A4q4l 通过坐标面q的通量是(44h4l, 1q, r9, dsps, da, 通过坐标面q3+4g的通量是[4d2dg12 因此 V·A=oaA+anA2+oaA hh,h lan (4)+(4A)+(4A2) (3)矢量A(q,q2q)=Ae+Ae2+Ae2的旋度vxA是一个矢量,它在e1方向 的分量(x定义为:以1记坐标面q上的面积元dS= h,dq,h,do2的边界线 其走向是关于成右手螺旋的,则(V×4)=手4d/dS因为, d=[44+[4上+(一4)工+[(-4)d (42)-6(4)4d, cq2 所以,xA h,h,Lag (41h2)-(4h2) 付xA),(x项可以类似(指标轮换)地定义并推导出。最后有

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 6 （2）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q )  Ae ˆ  A e ˆ  A e ˆ  的散度 A    是一个标量，定义为： 以 S 记体积元的边界面， S  d 表示大小为 dS ，方 向为面积元外法线方向的矢量，则   S A dS   是 A  通过边界面 S 的通量，而 1 2 3 a q q q ( , , ) 点的散度是 d / d S     A A S   . 通过坐标面 q1 的通量是    1 1 2d 2 3d 3 q  A h q h q ， 通过坐标面 q1  dq1 的通量是   1 d 1 1 2d 2 3d 3 q q A h q h q  ； 通过坐标面 2 q 的通量是    2 2 1d 1 3d 3 q  A h q h q ， 通过坐标面 q2  dq2 的通量是   2 d 2 2 1d 1 3d 3 q q A h q h q  ； 通过坐标面 3 q 的通量是    3 3 1d 1 2d 2 q  A h q h q ， 通过坐标面 q3  dq3 的通量是   3 d 3 3 1d 1 2d 2 q q A h q h q  . 因此，       1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 . A A A A A h h A h h A h h q q q h h h q q q                       （3）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q )  Ae ˆ  A e ˆ  A e ˆ  的旋度 A   是一个矢量，它在 1 e ˆ 方向 的分量   A 1   定义为：以 l 记坐标面 q1 上的面积元 dS1  h2dq2h3dq3 的边界线， 其走向是关于 1 e ˆ 成右手螺旋的，则   1 1 d / d . l    A A l S  因为，             3 2 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 d d 3 3 2 2 2 3 2 3 d d d d d d d , ab bc cd da l q q q q q q A l A h q A h q A h q A h q A h A h q q q q                               所以，                   2 2 3 3 3 2 3 2 1 1 A h q A h h h q A  .   A 2   ，  A 3   可以类似（指标轮换）地定义并推导出。最后有

h, h (Ah2)-(4h) (4) Laplace算符v2 利用V·A= hhh, laq (4kh)+(4h)+。(4小h2) 和 得到 h Vou=Vvu)= 0(鸟h 0(h3h1 a,Ou 内h2h[an(a)可2(五 q3 h, aq 球坐标系中,h=1,h=r,b=rsn0 a-1 r2ar ar/rasin 880 柱坐标系中,h=1,h=p,h2=1, apa 平面极坐标系中,b=1,九=,V=12()+1m 二、分离变量对坐标系的要求 1)方程和边界条件都必须是可分离变量的(例如两者均是齐次的); 2)既取决于方程的形式和边界条件,也与坐标系的选择有关 3)选择坐标系的原则一便于边界条件处理: 立方系:直角坐标系 球面系:球坐标系;椭球面系:椭球坐标系 平面圆系:极坐标系;柱面系:柱坐标系

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 7             3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 3 2 3 3 1 3 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ . A A h A h e A h A h e h h q q h h q q A h A h e h h q q                                       （4）Laplace 算符 2  利用  1 2 3 2 3 1 3 1 2      1 2 3 1 2 3 1 A A h h A h h A h h h h h q q q                 和            3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u ，得到                                                   3 3 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 q u h h h q q u h h h q q u h h h h h h q u u . 球坐标系中，hr 1，h  r  ，h  rsin  , 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1                                 u r u r r u r r r u . 柱坐标系中，  1  h ，h   ，hz 1, 2 2 2 2 2 2 1 1 z u u u u                          . 平面极坐标系中，  1  h ，h   , 2 2 2 2 1 1                       u u u . 二、分离变量对坐标系的要求 1）方程和边界条件都必须是可分离变量的（例如两者均是齐次的）； 2）既取决于方程的形式和边界条件，也与坐标系的选择有关； 3）选择坐标系的原则—便于边界条件处理： 立方系：直角坐标系； 球面系：球坐标系；椭球面系：椭球坐标系； 平面圆系：极坐标系；柱面系：柱坐标系

Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa? 三、圆形区域内 Laplace方程的定解问题 例1.利用分离变量法求解定解问题(2+0D) Vu(e, pap( ap) pa 0,(0≤p≤b) ls=f(9)周期性和自然边界条件见后 设l(p,)=R()A(),代入方程并分离变量,得 d-or(pl d"(q) 三 R(p)d, 由此得到两个方程 d()+dp(q)=0, P R(P)+PR(P)-AR(P)=0 其中,极角方向的方程Φ(φ)+A(o)=0与周期性边界条件构成本征值问题。这 是因为,一般来说,场量u(,)是单值的,应当满足,1(0,+2x)=l(0,9).因 此Φ(q+2丌)=Φ(q).所以ΦX2)=Φ(0)和Φ(2z)=Φ(0)(这些边界条件不同于 界面衔接条件).这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 A=Am=m, o()=o()=A cos m+B sin mo,(m=0, 1, 2, .. 现在解分离变量以后的径向方程p2R(p)+pR()-AR()=0( Euler型方 程),其特点是,n阶导数的各项又乘以自变量的n次方(n=0,1.2)解法如下: 令R=p,代入方程后得关于k的代数方程,解出k可得方程的特解 k(k-1)p+kp-m2p2=0,消去p,得 k(k-1)+k-m2=0 解得k2=土m,从而得方程的两个特解,{p,pm}.当k=k2=m=0时,则 两个特解为{p,plm}={lnp)(好比Jm(x)和N(x)当=列=m=0时 R(p)=R(P)=Co+ Do In p=Co 1+Do In p) 当A=m=m2≠0时,RP)=R(P)=CmD"+DmDm=Cm(p"+DnD-")

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 8 三、圆形区域内 Laplace 方程的定解问题 例 1. 利用分离变量法求解定解问题（2+0D）   2 2 2 2 1 1 ( , ) 0, 0 ( ), b u u u b u f                                    周期性和自然边界条件见后。 设 u(,)  R()() ，代入方程并分离变量，得 d ( ) [ ( )] . ( ) d ( ) R R               由此得到两个方程: ()  ()  0， ( ) ( ) ( ) 0 2  R   R   R   , 其中，极角方向的方程 ()  ()  0 与周期性边界条件构成本征值问题。这 是因为，一般来说，场量 u( , )   是单值的，应当满足， u(,  2)  u(,). 因 此     ( 2 ) ( ).    所以 (2)  (0) 和 (2)  (0) （这些边界条件不同于 界面衔接条件）. 这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 2    m  m ，()  m ()  Am cos m  Bm sin m ，( m  0,1,2,  ). 现在解分离变量以后的径向方程 ( ) ( ) ( ) 0 2  R   R   R   (Euler 型方 程)，其特点是，n 阶导数的各项又乘以自变量的 n 次方( n =0,1,2). 解法如下： 令 k R   ，代入方程后得关于 k 的代数方程，解出 k 可得方程的特解。 ( 1) 0 2     k k k k k  k m  ，消去 k  ，得 ( 1) 0 2 k k   k  m  . 解得 k1,2  m ，从而得方程的两个特解，   m m  ,  . 当 1 2 k k m    0 时，则 两个特解为    1 1 , ln 1,ln } k k      .(好比 ( ) m J x 和 ( ) N x m )当 0      m 0 时， () () ln  1 ln  R R0 C0 D0 C0  D0        . 当 0 2    m  m  时， ( ) ( )   m m m m R R C D C D       m m m m m          

Chapter 12 Separation of variables in 则一般解为 (p,q)=∑R(p)n(9) Ao(1+Do In p)+2(A, cos mo +Bn sin mp)(p"+Dmp-m) 对于本题定解问题的圆内问题(0≤p≤5b,有自然边界条件团≠可,因此, D=0,Dn=0(m=12,…)这时,一般解为, u(p, )=A+2(A cosmo+Bm sin mo)p" 其中An,Bn由边界条件给出,它们是: 偶函数部分:4=2- 2丌 f(0)de,Am= f(e)cos mae 奇函数部分:B=1 f(e)sin mede **对于下面例题的圆外问题(b≤ρ≤∞),上述一般解也适用,但需要增加 边界条件:叫2,有界,或是具体问题需要具体确定 例2.在电场强度为E0的均匀电场中,放入一个半径为b的无限长导体圆柱,其 轴线垂直于E0,单位长度的带电量为Q.求导体圆柱外的电势分布 解:分析:以圆柱的轴线为z轴,显然这是平面问题,因 为这个问题本身与z无关(2+0D).以E0方向为x轴方 向取极坐标系,电势(p,q)所满足的定解问题是 V-u(e, 0,(p>b) ap n=0.2n1-Epcs9-2lp(p>b见下) 这里我们选取导体表面p=b为电势零点。第二个边界条件的右端第一项u0 是待定常数;第二项是均匀电场E0的电势-E0x=- Eop cos第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势,记为a2当L→∞时,无穷多个点电荷在ρ处产

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 9 则一般解为      0 0 0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D                        *对于本题定解问题的圆内问题 0    b，有自然边界条件   0 u ，因此， D0  0， Dm  0 ( m 1,2,  ). 这时，一般解为，        1 0 ( , ) cos sin m m u   A Am m Bm m  ， 其中 Am Bm , 由边界条件给出，它们是： 偶函数部分：       2 0 0 ( )d 2 1 A f ，        2 0 ( ) cos d 1 f m a Am m ， 奇函数部分： 2 0 1 ( )sin d . m m B f m a        **对于下面例题的圆外问题 b      ，上述一般解也适用，但需要增加 边界条件：  u 有界，或是具体问题需要具体确定。 例 2. 在电场强度为 E0 的均匀电场中，放入一个半径为 b 的无限长导体圆柱，其 轴线垂直于 E0 ，单位长度的带电量为 Q . 求导体圆柱外的电势分布。 解：分析：以圆柱的轴线为 z 轴，显然这是平面问题，因 为这个问题本身与 z 无关(2+0D). 以 E0 方向为 x 轴方 向取极坐标系，电势 u(,) 所满足的定解问题是     2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( , ) 0, 0; cos ln , . 2 a u u u b Q u u u E b                                             见下 这里我们选取导体表面   b 为电势零点。第二个边界条件的右端第一项 0 u 是待定常数；第二项是均匀电场 E0 的电势 0 0    E x E   cos ; 第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势，记为 2 u . 当 L  时，无穷多个点电荷在  处产

12 Separation of variables in 生的电势(需要将电势零点位移,即定义ρ=∞为零电势) L/2+√Z/4+p △(p)= 0-L/2 L/2+√2/4+p L 4zs0-L/2+(L/2)1+(2p/L)2/2] OL2 L L OIn(L/p) (对数发散)。虽然新物理量△)=△()=2∠再发散,但是将 gnL→m吸收到2中,即2()=4)-Qm12h.物理上2D 的对数发散,见 Chapter14 用分离变量法,可得此定解问题的一般解为(Note:m=0,,2,…) u(p,p)=2R(P)dm(p)=A(1+Do In p)+2(A, cos mp+Bm sin mp)(p"+Dp-m) 由lmb=0B1+Dlnb=0 可得,D0= Dn=-b(m=1,2,…) 1b"+Dmb-m=0 Note:各m是相互独立的。于是, (p、、A(nb-lnp)+∑( A coS m+ B sin mg)-/63) In b 再利用,u≈46-0p02r5 -29hp(p>a时),有 h6(nb-l)+∑(4c0sm0+ B sin mp))p=-5og、Qmp 比较各个m(m是相互独立的,这个方法等价于用正交性积分来确定系数)关 于(p9)的系数得,A=Qmhb,Am=10m=2yn=0(m=12…)以 ∫-En、m=1) 及4=4=lnb.这就是信息通过边界传到体内!从而,本定解问题的物理

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 10 生的电势(需要将电势零点位移，即定义   为零电势): / 2 2 2 2 2 2 2 0 0 / 2 2 0 2 0 0 1 / 2 / 4 ( ) ln 4 4 / 2 / 4 ln 4 / 2 ( / 2)[1 (2 / ) / 2] ln( ) ln ( , 4 2 ) L L Q z Q L L V z L L Q L L L L Q L Q L L                                 d (对数发散)。虽然新物理量 0 1 ln( / ) ( ) ( ) 2 Q L v V L L         不再发散，但是将 0 ln 2 Q L    吸收到 2 u 中, 即 2 0 0 ( ) ( ) ln ln . 2 2 Q Q u V L           物理上 2D 的对数发散， 见 Chapter. 14. 用分离变量法，可得此定解问题的一般解为（Note: m  0,1,2, ） 0 0      0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D                        由 0 b u    即 0 1 ln 0 0 m m m D b b D b        可得， 0 1 ln D b   ， 2m D b m   ( m 1,2,  ). Note: 各 m 是相互独立的。于是，     2 0 1 ( , ) ln ln cos sin ln m m m m m A b u b A m B m b                              . 再利用， 当 a时 Q u  u  E         ln 2 cos 0 0 0 ，有     0 0 0 1 0 ln ln cos sin cos ln . ln 2 m m m m A Q b A m B m u E b                  比较各个 m （ m 是相互独立的，这个方法等价于用正交性积分来确定系数）关 于  ,  的系数得， 0 0 ln 2 Q A b   ， 0 , ( 1) 0, ( 2,3, ) m E m A m       Bm  0 ( m 1,2,  ), 以 及 0 0 0 ln . 2 Q u A b    这就是信息通过边界传到体内！从而，本定解问题的物理