换路后由图(b)可知,根据KVL有 uptu=0 而l=R,=-C=,代入上式可得 +L=0 1式 C 上式是一阶常系数齐次微分方程,其通解形式 为 t>0 2式 式中A为待定的积分常数,可由初始条件确定 p为1式对应的特征方程的根。将2式代入1式可 得特征方程为 RCP+1=0
-uR+uc =0 而uR =iR, dt du i C C = − ，代入上式可得 + C = 0 C u dt du RC 上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式 为 uc=Aept t≥0 ２式 式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。 p为１式对应的特征方程的根。将２式代入１式可 得特征方程为 RCP+1=0 １式 换路后由图（b）可知，根据KVL有
从而解出特征根为p RC 则通解 A 3式 将初始条件(04)R代入3式,求出积分常数A为 lc(04)=A=R01 将l(0)代入3式,得到满足初始值的微分 方程的通解为 c=uc(0 e rc= role c to 4 rt 放电电流为 du RI e RC 0)eRC>05式 dt R
从而解出特征根为 RC p 1 = − 则通解 RC t u Ae C − = ３式 将初始条件uc (0+ )=R0 IS代入3式，求出积分常数A为 C S u A R I 0 (0+ ) = = 将 代入３式，得到满足初始值的微分 方程的通解为 (0 ) uc + RC t S RC t C C u u e R I e − − = + = 0 (0 ) ４式 放电电流为 RC t RC t C S e i e R R I dt du i C − + − = − = = (0 ) 0 t≥0 t≥0 ５式
令τ=RC,它具有时间的量纲,即 ]=[C1「伏特库仑 库仑 安培伏特」库仑/秒|=秒 故称τ为时间常数,这样4、5两式可分别写为 (0+)ex i=i(0-)e 由于P 为负,故u和i均按指数规律衰减 RC 它们的最大值分别为初始值u(04)=Rs及 W(0,)=-28当t一时,和(衰减到零
令τ=RC，它具有时间的量纲，即 秒 库仑 秒 库仑 伏特 库仑 安培 伏特 = = = = / RC . 故称τ为时间常数, 这样４、５两式可分别写为 t C C u u e − = + (0 ) t≥0 t i i e − = + (0 ) t≥0 RC p 1 由于 = − 为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， 它们的最大值分别为初始值 uc (0+ )=R0 IS 及 R R I i 0 S (0 + ) = 当t→∞时，uc和 i 衰减到零
画出u及i波形如图12-6所示。 uC LUR t(s 图12-6RC电路零输入响应电压电流波形图
图12-6 RC 电路零输入响应电压电流波形图 画出uc及i的波形如图12-６所示
2RL电路的零输入响应 阶RL电路如图12-7(a)所示,t=0-时开关S闭合,电 路已达稳态,电感L相当于短路,流过L的电流为I。即 i(0-)=0,故电感储存了磁能。在七0时开关S打开,所以 在亡0时,电感L储存的磁能将通过电阻R放电,在电路中 生电流和电压,如图12-7(b)所示。由于t>0后,放电回 路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的,所以 为零输入响应。 R R R RI (a) 图12-7RL电路的零输入响应
2 RL电路的零输入响应 一阶RL电路如图12-7(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电 路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I 0。即 iL (0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以 在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图12-7 (b)所示。由于t>0后，放电回 路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以 为零输入响应。 图12-7 RL电路的零输入响应