性质1:k阶差商可以表示成 k+1个函数值f(x),f(x) ,f(x)的线性组合,即 0叫1 可用归纳法证明 例 1x,x=()-/(x)=+
6 性质 1:k 阶差商可以表示成 k+1 个函数值 ( ), ( ), 0 1 f x f x , ( ) k f x 的线性组合,即 [ , , , ] 0 1 k f x x x = ( ) ( ) ( )( ) ( ) k j j 0 j 0 j j 1 j j 1 j n f x = x x x x x x x x − − − − − + 可用归纳法证明。 例: ( ) ( ) [ , ] 0 1 0 1 0 1 f x f x f x x x x − = − 0 1 0 1 1 0 f f x x x x = + − − ;
fIco, x,-fllxo xI-x2 xo-r x,-ro x,-r, xo- f (x-x)xD-x2)(x1-x)(x1-x2) 这个性质也表明差商与节点 的排列顺序无关(差商的对称 性)。即
7 [ , ] [ , ] [ , , ] 0 1 0 2 0 1 2 1 2 f x x f x x f x x x x x − = − ( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 0 1 1 0 1 2 0 2 2 0 1 1 f f f f x x x x x x x x x x x x = + − + − − − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 f f f x x x x x x x x x x x x = + + − − − − − − 这个性质也表明差商与节点 的排列顺序无关(差商的对称 性)。即
fx,x,…x]=几[x1,x,x2…x]=…=几 性质2: 依对称性,对调定义公式左端k 阶差商中x与xk-1的位置, x1 k-1515k-2 k-2:0
8 0 1 1 0 2 1 2 0 [ , , , ] [ , , , , ] [ , , , , ] k k k f x x x f x x x x f x x x x = = = 性质 2： 1 0 1 0 1 0 [ , , ] [ , , ] [ , , , ] k k k k f x x f x x f x x x x x − − = − 依对称性，对调定义公式左端 k 阶差商中 x0 与 k 1 x − 的位置， 1 1 2 1 1 2 0 1 1 2 0 0 [ , , , , ] [ , , , , ] [ , , , , , ] k k k k k k k k k f x x x x f x x x x f x x x x x x x − − − − − − − = −
再将各差商中的节点按原来次序 排列。 性质3:若(x)是x的n次多项 式,则一阶差商x,是x 的n-1次多项式,二阶差商 几x,xn,x是x的n2次多项式 般地,函数f(x)的k阶差 商几x,,,x小是x的n-k次多项 式(sm),而k>n时,k阶差商 为零
9 再将各差商中的节点按原来次序 排列。 性质 3:若 f x( ) 是 x 的 n 次多项 式,则一阶差商 [ , ] 0 f x x 是 x 的 n-1 次多项式,二阶差商 [ , , ] 0 1 f x x x 是 x 的 n-2 次多项式; 一般地,函数 f x( ) 的 k 阶差 商 [ , , , ] 0 k 1 f x x x − 是 x 的 n-k 次多项 式 ( ) k n ,而 k n 时, k 阶差商 为零