3幂级数在其收敛区间内的和函数的求法 在熟记几个常用的幂级数的和函数的 基础上对照已知级数的特点可通过恒等变 形变量代换及逐项求导或积分的方法来求 和函数
3.幂级数在其收敛区间内的和函数的求法 在熟记几个常用的幂级数的和函数的 基础上,对照已知级数的特点,可通过恒等变 形,变量代换及逐项求导或积分的方法来求 和函数
4函数展开成幂级数 (1)直接展开法: 按公式(x)=∑an(x-x),an= H=0 t 展开但必须证明余项的极限lmRn(x)=0, n→0 这通常是较困难的
4.函数展开成幂级数 (1)直接展开法: 展开,但必须证明余项的极限 这通常是较困难的. ( ) ( 0 ) = ! n n f x a n lim 0 ( ) n n R x → = ， ( ) ( 0 ) 0 n n n f x a x x = 按公式 = −
(2)间接展开法: 利用已知函数的展开式通过恒等变形变量代换, 级数的代数运算及逐项求导或积分把函数展开成幂级 数 注意两点: 第一熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式 第二,根据已知展开式写出所求展开式相应的收敛区间 ■逐项求导或积分后原级数的收敛半径不变但收敛区 间可能会变
(2)间接展开法: 利用已知函数的展开式,通过恒等变形,变量代换, 级数的代数运算及逐项求导或积分,把函数展开成幂级 数. 注意两点: 第一,熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式. 第二,根据已知展开式写出所求展开式相应的收敛区间. ◼ 逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变,但收敛区 间可能会变
几个常用初等函数的马克劳林展开式 ∑x"=1+x+x2+…+x"+…(-1<x<1); n-=0 x=∑ =1+x+-+…+=+…(-∞<x<+ n=0h! 2! n! n2n+1 SINx= ∑ =x一 -00<X<+0 H=0 2n+ 5 ln(1+x)=∑(-1)1=x-XAx(1<xs1) H=1 23
◼ 几个常用初等函数的马克劳林展开式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 1 3 5 0 2 3 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 ; ! 2! ! 1 sin ; 2 1 ! 3! 5! ln 1 1 1 1 . 2 3 n n n n n x n n n n n n n x x x x x x x x x e x x n n x x x x x x n x x x x x x n = = + = − = = = + + + + + − − = = + + + + + − + − = = − + − − + + + = − = − + − −
思考与分析 1.试判断下列命题是否正确? (1)若mn=0则∑ln必定收敛 n→)0 (2)设∑ln,∑v是正项级数, ln≤Cvn(n=1,2,…) c为大于零的常数,则∑un,∑v同敛散
1.试判断下列命题是否正确? (1)若 则 必定收敛. (2)设 是正项级数, c为大于零的常数,则 同敛散. = → = 1 lim 0, n n n n u u u cv (n =1,2, ), n n = =1 1 , n n n n u v = =1 1 , n n n n u v 三 思考与分析