第二章习题课 导数与微分
第二章 习题课 导数与微分
基本要求 1理解导数的概念,明确导数就是函数的变化率理 解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和 法线方程.了解函数的可导与连续性的关系 2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法 则,掌握基本初等函数的导数公式,会求分段函数 的导数 3了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶、 阶导数的求法,会求简单函数的n阶导数 4会求隐函数和由参数方程所确定的一阶、二阶 导数 5理解微分的概念,了解微分形式不变性,会求微分
一 基本要求 1 理解导数的概念,明确导数就是函数的变化率.理 解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和 法线方程.了解函数的可导与连续性的关系. 2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法 则,掌握基本初等函数的导数公式,会求分段函数 的导数. 3 了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶、二 阶导数的求法,会求简单函数的 阶导数. 4 会求隐函数和由参数方程所确定的一阶、二阶 导数. 5 理解微分的概念,了解微分形式不变性,会求微分. n
二要点提示 1导数定义的几种形式 若f(x)在x处函数增量与自变量增量之比(当自变 量增量趋于零时)的极限存在,则∫(x)在x可导.于 是f(x)可表达成多种形式: f(x)=lim,其中Ax=x-x △x f(x0+△x)-f(x0) f(xo=lim f(x)-f(x0) f(x)= △x→>0 △x X-x f(o-f(o-a) f(ro)=lim f(xo+h)-f(xo2 f(o) h>0 a→>0 C
二 要点提示 1 导数定义的几种形式 若 在 处函数增量与自变量增量之比(当自变 量增量趋于零时)的极限存在,则 在 可导.于 是 可表达成多种形式： ,其中 f x( ) 0 x f x( ) 0 x 0 f x'( ) 0 0 '( ) lim x y f x → x = 0 = − x x x 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x → x + − = 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x → x x − = − 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) limh f x h f x f x → h + − = 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim f x f x f x → − − =
2复合函数的求导法则 应用法则时,应首先分析所给复合函数的复 合结构,认清它是由哪些简单函数复合而成,可从 外向里一层一层地求导例如 y=figo(x)li y=f"{gp(x)}·{gq(x川 =f"{glq(x)}·g"Iq(x)·q(x) =f"{g|q(x)}·g"Iq(x)l·q'(x)
2 复合函数的求导法则 应用法则时,应首先分析所给复合函数的复 合结构,认清它是由哪些简单函数复合而成,可从 外向里一层一层地求导.例如: y f g x = { [ ( )]} ' y'= f '{g[(x)]}{g[(x)]} ' = f '{g[(x)]} g'[(x)][(x)] = f '{g[(x)]} g'[(x)]'(x)
3分段函数的导数 在对分段函数求导时分段点处要用导数的 定义或者左、右导数来确定该点的导数是否存 在或求导
3 分段函数的导数 在对分段函数求导时,分段点处要用导数的 定义或者左、右导数来确定该点的导数是否存 在或求导