复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十二章 球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数

Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU (2)矢量A(q1,q2,q)=A+A2+Ae3的散度V·A是一个标量,定义为 以S记体积元的边界面,dS表示大小为dS,方 向为面积元外法线方向的矢量,则∫4ds是A 通过边界面S的通量,而a(q,q2,q)点的散度是 VA=[Ads/da 通过坐标面q1的通量是[(-A1)2dq2hdg3l 通过坐标面q+d1的通量是[42d4l 通过坐标面q2的通量是(-A2 h, dg, h,do2l 4+ 通过坐标面q2+d2的通量是[4 dqh, dq, I2a 通过坐标面q2的通量是[(-4)hdqh2dg2l a qa ds2动2aq 通过坐标面q3+dg的通量是[4ddql2 因此 VA=8.A+8 A2+aA= 鸟[27(4么 (4h)+。(Ah) (3)矢量A(q12q2q3)=Ae1+Ae2+Ae的旋度V×A是一个矢量,它在e1方向 的分量x定义为:以1记坐标面q上的面积元d1=h4d的边界线, 其走向是关于4成右手螺旋的,则(V×A)=∮d1A.因为, d=[4m+[4]+(一4邮工+[(-4)d (44)-(4h)14 所以,x=1「0 h,h, laq2 (41h2)-(412) x,(x)可以类似(指标轮换)地定义并推导出。最后有 6

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 6 （2）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q ) = Ae ˆ + A e ˆ + A e ˆ  的散度 A   是一个标量，定义为： 以 S 记体积元的边界面， S  d 表示大小为 dS ，方 向为面积元外法线方向的矢量，则   S A dS   是 A  通过边界面 S 的通量，而 1 2 3 a q q q ( , , ) 点的散度是 d / d S  =  A A S   . 通过坐标面 1 q 的通量是 ( )  1 1 2d 2 3d 3 q − A h q h q ， 通过坐标面 q1 + dq1 的通量是   1 d 1 1 2d 2 3d 3 q q A h q h q + ； 通过坐标面 2 q 的通量是 ( )  2 2 1d 1 3d 3 q − A h q h q ， 通过坐标面 q2 + dq2 的通量是   2 d 2 2 1d 1 3d 3 q q A h q h q + ； 通过坐标面 3 q 的通量是 ( )  3 3 1d 1 2d 2 q − A h q h q ， 通过坐标面 q3 + dq3 的通量是   3 d 3 3 1d 1 2d 2 q q A h q h q + . 因此， ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 . A A A A A h h A h h A h h q q q h h h q q q       =  +  +  = + +        （3）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q ) = Ae ˆ + A e ˆ + A e ˆ  的旋度 A   是一个矢量，它在 1 e ˆ 方向 的分量 ( ) A 1   定义为：以 l 记坐标面 1 q 上的面积元 dS1 = h2dq2h3dq3 的边界线， 其走向是关于 1 e ˆ 成右手螺旋的，则 ( ) 1 1 d / d . l  =  A A l S  因为，     ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 d d 3 3 2 2 2 3 2 3 d d d d d d d , ab bc cd da l q q q q q q A l A h q A h q A h q A h q A h A h q q q q + +  = + + − + −             = −        所以， ( ) ( ) ( )        −    = 2 2 3 3 3 2 3 2 1 1 A h q A h h h q A  . ( ) A 2   ，( ) A 3   可以类似（指标轮换）地定义并推导出。最后有

Methods of Mathematical Physics(2016. I1) V×A h,h, laq (44)-(4)1 h[c(4)-。(4)2 hh,n(4h2)-2( (4) (4) Laplace算符v2 利用V·A= 内[(4)+(4的)+(4) 和V=2②2c e,得到 V=V·(Vl)= h,h, h,h, h,h, h地anhn)2(如2)a(h 球坐标系中,h=1,h=r,h=rsm0 Vu= sin e sin 0ae 柱坐标系中,b。=1,h=p,h= pal ap p2 ap2az 平面极坐标系中,b1,b一,V=1()+是 p dp 二、分离变量对坐标系的要求 1)方程和边界条件都必须是可分离变量的(例如两者均是齐次的); 2)既取决于方程的形式和边界条件,也与坐标系的选择有关; 3)选择坐标系的原则一便于边界条件处理 立方系:直角坐标系 球面系:球坐标系;椭球面系:椭球坐标系 平面圆系:极坐标系;柱面系:柱坐标系

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 3 2 3 3 1 3 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ . A A h A h e A h A h e h h q q h h q q A h A h e h h q q           = − + −                 + −       （4）Laplace 算符 2  利用 ( 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 A A h h A h h A h h h h h q q q       = + +        和   = =   =    = 3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u ，得到 ( )                   +            +             =    = 3 3 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 q u h h h q q u h h h q q u h h h h h h q u u . 球坐标系中， hr =1，h = r  ，h = rsin  , 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1          +           +           = u r u r r u r r r u . 柱坐标系中， h = 1，h =  ，hz =1, 2 2 2 2 2 2 1 1 z u u u u   +   +             =       . 平面极坐标系中， h = 1，h =  , 2 2 2 2 1 1         +             = u u u . 二、分离变量对坐标系的要求 1）方程和边界条件都必须是可分离变量的（例如两者均是齐次的）； 2）既取决于方程的形式和边界条件，也与坐标系的选择有关； 3）选择坐标系的原则—便于边界条件处理： 立方系：直角坐标系； 球面系：球坐标系；椭球面系：椭球坐标系； 平面圆系：极坐标系；柱面系：柱坐标系

Methods of Mathematical Physics(2016. I1) 三、圆形区域内 Laplace方程的定解问题 例1.利用分离变量法求解定解问题(2+0D) V-u(e, a,. au 0,(0≤p≤b) l=f(q)周期性和自然边界条件见后。 设u(p,)=R(p)Φ(g),代入方程并分离变量,得 R(p)dplpr'(e)]=-$() d() 由此得到两个方程: "(q)+Ad(q)=0 PR(P)+pR(P)-R(P)=0 其中,极角方向的方程Φ"()+A()=0与周期性边界条件构成本征值问题。这 是因为,一般来说,场量u(p,)是单值的,应当满足,u(p,q+2)=l(p,).因 此Φ(q+2x)=Φ().所以Φ(2x)=ΦO)和Φ(2x)=Φ(0)(这些边界条件不同于 界面衔接条件).这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 A=Am=m, (=d()= Am cos mo +B sin mp,(m=0, 1, 2, .. 现在解分离变量以后的径向方程p2R'(p)+pR(p)-ZR(p)=0( Euler型方 程),其特点是,n阶导数的各项又乘以自变量的n次方(n=0,1,2).解法如下: 令R=p3,代入方程后得关于k的代数方程,解出k可得方程的特解。 k(k-1)p4+kp-m2p=0,消去p,得 k(k-1)+k 解得k2=±m,从而得方程的两个特解,{p,pm}.当k=k2=m=0时,则 两个特解为{,phnp}=lnp}(好比Jm(x)和N(x)当==m=0时, R(p)=Ro(p)=Co+Dhn p=Co(1+Do In p) 当=Am=m2≠0时,R(p)=R2(p)=Cmp"+Dpm=Cm(p"+DmP

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 8 三、圆形区域内 Laplace 方程的定解问题 例 1. 利用分离变量法求解定解问题（2+0D） ( ) 2 2 2 2 1 1 ( , ) 0, 0 ( ), b u u u b u f            =        = + =            =  周期性和自然边界条件见后。 设 u(,) = R()() ，代入方程并分离变量，得 d ( ) [ ( )] . ( ) d ( ) R R           = −   由此得到两个方程: () + () = 0， ( ) ( ) ( ) 0 2  R  + R  − R  = , 其中，极角方向的方程 () + () = 0 与周期性边界条件构成本征值问题。这 是因为，一般来说，场量 u( , )   是单值的，应当满足， u(, + 2 ) = u(,). 因 此  + =  ( 2 ) ( ).    所以 (2 ) = (0) 和 (2 ) = (0) （这些边界条件不同于 界面衔接条件）. 这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 2  =  m = m ，() = m () = Am cosm + Bm sin m ，( m = 0,1,2,  ). 现在解分离变量以后的径向方程 ( ) ( ) ( ) 0 2  R  + R  − R  = (Euler 型方 程)，其特点是，n 阶导数的各项又乘以自变量的 n 次方( n =0,1,2). 解法如下： 令 k R =  ，代入方程后得关于 k 的代数方程，解出 k 可得方程的特解。 ( 1) 0 2 − + − = k k k k k  k m  ，消去 k  ，得 ( 1) 0 2 k k − + k − m = . 解得 k1,2 = m ，从而得方程的两个特解，   m −m  ,  . 当 1 2 k k m = = = 0 时，则 两个特解为    1 1 , ln 1,ln } k k     = .(好比 ( ) m J x 和 ( ) N x m )当 0   = = = m 0 时， () () ln  (1 ln ) R R0 C0 D0 C0 + D0 = =  +  =  . 当 0 2  =  m = m  时， ( ) ( ) ( ) m m m m R R C D C D       m m m m m − − = = + = +   

Methods of Mathematical Physics(2016. I1) 则一般解为 (p.9)=∑R(pyn(q) Ao(1+Do In p)+2(A cos mp Bu sin mp)(p"+Dmpm) 对于本题定解问题的圆内问题(0P≤b),有自然边界条件团≠4因此 D=0,Dn=0(m=1,2,…)这时,一般解为, u(p, )=4o+2(Am cos mo+Bm sin mo)p 其中An,Bn由边界条件给出,它们是 偶函数部分:4=1CO,4=1C17101m0, 奇函数部分:B f(e)sin mede *对于下面例题的圆外问题(b≤p≤∞),上述一般解也适用,但需要增加 边界条件:有界,或是具体问题需要具体确定。 例2.在电场强度为E0的均匀电场中,放入一个半径为b的无限长导体圆柱,其 轴线垂直于E,单位长度的带电量为Q.求导体圆柱外的电势分布。 解:分析:以圆柱的轴线为z轴,显然这是平面问题,因 为这个问题本身与z无关(2+0D).以E0方向为x轴方 向取极坐标系,电势(p,q)所满足的定解问题是 Vu(p,p)=Ial,Ou )pc=0(>b) =0.t≈tl E1pso-Qmp(p>b见下) 这里我们选取导体表面p=b为电势零点。第二个边界条件的右端第一项uo 是待定常数;第二项是均匀电场E0的电势-E0x=- CoCos,第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势,记为a2当L→∞时,无穷多个点电荷在p处产

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 9 则一般解为 ( ) ( )( ) 0 0 0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D           =  − = =  = + + + +   *对于本题定解问题的圆内问题 (0    b)，有自然边界条件   =0 u ，因此， D0 = 0， Dm = 0 ( m = 1,2,  ). 这时，一般解为， ( )  = = + + 1 0 ( , ) cos sin m m u   A Am m Bm m  ， 其中 Am Bm , 由边界条件给出，它们是： 偶函数部分：  =     2 0 0 ( )d 2 1 A f ，  =      2 0 ( ) cos d 1 f m a Am m ， 奇函数部分： 2 0 1 ( )sin d . m m B f m a      =  **对于下面例题的圆外问题 (b     )，上述一般解也适用，但需要增加 边界条件： → u 有界，或是具体问题需要具体确定。 例 2. 在电场强度为 E0 的均匀电场中，放入一个半径为 b 的无限长导体圆柱，其 轴线垂直于 E0 ，单位长度的带电量为 Q . 求导体圆柱外的电势分布。 解：分析：以圆柱的轴线为 z 轴，显然这是平面问题，因 为这个问题本身与 z 无关(2+0D). 以 E0 方向为 x 轴方 向取极坐标系，电势 u(,) 所满足的定解问题是 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( , ) 0, 0; cos ln , . 2 a u u u b Q u u u E b                =        = + =            =  − −    见下 这里我们选取导体表面  = b 为电势零点。第二个边界条件的右端第一项 0 u 是待定常数；第二项是均匀电场 E0 的电势 0 0 − = − E x E   cos ; 第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势，记为 2 u . 当 L → 时，无穷多个点电荷在  处产

Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU 生的电势(需要将电势零点位移,即定义p=∞为零电势) △(p) Odz O,L/2+√z2/4+ L/2+√12/4+ L 4zs0-L/2+(L/2)+(2p/L)2/2] O L ln-→∞(L→∞) 2Te (对数发散)。虽然新物理量△m(p)=1△(p)=gLP)不再发散,但是将 gmL→∞吸收到中,即a(p)=A(p)-QmL=-9mp物理上2D 2 的对数发散,见 Chapter14 用分离变量法,可得此定解问题的一般解为(Note:m=0,1,2,…) u(p,)=2R(P)m (p)=A(1+Do In p)+2(A cos mp +Bm sin mp)(p"+Dmp-m) +dInb=0 由 0即 可得,D0= Dn=-b2m(m=1,2,…) b+db=0 In b Note:各m是相互独立的。于是, m(n)= Inb(in b-Inp) ∑(4cosm+ Bm sin mp)) 再利用,a≈0-E0pcos02n hp(当p>>a时),有 Ing(Inb-Inp)+2(Am cos mp+Bm sin mp)p"=1-EoPcos@_np 比较各个m(m是相互独立的,这个方法等价于用正交性积分来确定系数)关 于(o)的系数得,42=lb,Ln ∫-E(m=1) 0.(m=2,3 Bn=0(m=1,2,…),以 及=4=Qmnb这就是信息通过边界传到体内!从而,本定解问题的物理

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 10 生的电势(需要将电势零点位移，即定义  = 为零电势): / 2 2 2 2 2 2 2 0 0 / 2 2 0 2 0 0 1 / 2 / 4 ( ) ln 4 4 / 2 / 4 ln 4 / 2 ( / 2)[1 (2 / ) / 2] ln( ) ln ( , 4 2 ) L L Q z Q L L V z L L Q L L L L Q L Q L L             − + +  = = + − + + = − + + = →  →   d (对数发散)。虽然新物理量 0 1 ln( / ) ( ) ( ) 2 Q L v V L L      =  = 不再发散，但是将 0 ln 2 Q L  →  吸收到 2 u 中, 即 2 0 0 ( ) ( ) ln ln . 2 2 Q Q u V L      − =  − = 物理上 2D 的对数发散， 见 Chapter. 14. 用分离变量法，可得此定解问题的一般解为（Note: m = 0,1,2, ） 0 0 ( ) ( )( ) 0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D            − = = =  = + + + +   由 0 b u  = = 即 0 1 ln 0 0 m m m D b b D b−  + =   + = 可得， 0 1 ln D b = − ， 2m D b m = − ( m = 1,2,  ). Note: 各 m 是相互独立的。于是， ( ) ( ) 2 0 1 ( , ) ln ln cos sin ln m m m m m A b u b A m B m b         =     = − + + −            . 再利用， (当 a时) Q u  u − E −        ln 2 cos 0 0 0 ，有 ( ) ( ) 0 0 0 1 0 ln ln cos sin cos ln . ln 2 m m m m A Q b A m B m u E b          = − + + = − −  比较各个 m （ m 是相互独立的，这个方法等价于用正交性积分来确定系数）关 于 ( , ) 的系数得， 0 0 ln 2 Q A b  = ， 0 , ( 1) 0, ( 2,3, ) m E m A m − = =   = Bm = 0 ( m = 1,2,  ), 以 及 0 0 0 ln . 2 Q u A b  = = 这就是信息通过边界传到体内！从而，本定解问题的物理