20 第二章解析函数 x平 0平西 2-a 图2.3沿闭合曲线一周回到原处时，函数值出=V2-ā的不同变化 简单闭合曲线（即自身不相交的闭合曲线）运行一周回到原处时，我们发现，可能 出现两种情形.一种是闭合曲线内不包含a点，如图2.3中的C.当z沿C1 周回到原处时，arg(z-a)还原，因此w值不变.另一种情形是闭合曲线内含有g 点，如图2.3中的C2,当z由A点出发经BCD各点回到原处时，arg(z-a)增加 2元，相应地，在w平面上只由A点到达A点，argw只增加元，w值并不还原. 上面的分析表明，a点在多值函数w=√2-a中具有特殊的地位：当z绕a 点运行一周回到原处时，对应的函数值并不还原：反之，当z不绕α点而运行 周回到原处时，函数值还原. 对于多值函数，总存在这样的特殊点，当z绕该点一周回到原处时，函数值 并不还原.这种点就称为多值函数的枝点.例如，a点就是多值函数w=√2-a 的枝点。 一个多值函数，一定总有不只一个枝点.例如，z=0点也是多值函数w= √2-a的枝点.这是因为，当z沿一个足够大的闭合曲线（因而一定会把a点包 含在内)一周回到原处时，”值一定不还原.而这样的闭合曲线，同时又可以看成 日拾遗补网是绕∞点一周，这就说明，当：绕0点一周回到原处时，函数值也不还原，因 毫镀要数及此oo点也是0=V2-a的枝点. 练习2.11能否作一条闭合曲线，使同时绕枝点z=a与z=o∞一周？当z沿此闭合曲 线（即同时绕z=a与z=o∞点）一周回到原处时，函数w=√2-a之值是否还原？ 还可以换一个角度考察多值函数的枝点.作为多值函数，给定一个自变量值 z,函数w=V2-a有两个数值与之对应，但z=a与0例外（它们只分别给出 一个值”=0与o∞.不过，这一特点，尽管有助于我们缩小排查范围，但绝不能 当成枝点的判断标准.例如，函数√2-1的枝点就只是z=士1，而0点并不是 枝点.判断多值函数枝点的唯一标准，就是它的定义，就是要看绕该点一周函数值
2.4多值函数 21 是否还原. 总结以上的讨论，可以预料，为了完全（唯一）确定多值函数w=√2-a的 函数值与自变量z值之间的对应关系，有两种办法可供选择， 比较简单的办法是规定宗量z一a的辐角变化范围.当宗量z-α的辐角限制 在某个周期内时，w=√2一ā的辐角也就唯一地确定了，因而w值也就唯一地确 定.例如，规定0≤arg(z-a)<2n或2r≤arg(z-a)<4r,等等. 例2.2设w=V2-,规定0≤arg(z-1)<2元，求w(2),u(),(0),w(-i. 解arg0=2argz-1小.因为0≤arg2-1)<2n,所以 arg(z-1川2=2=0， w(2)=1, argz-儿l=元u)=2e3m/, arg2-1川：=o=元 w(0)=e/2=i, ge-1川=-=u(-)=2emy 显然，在辐角规定0≤arge-)<2m下，m的取值一定限制在上半平面内，即 0≤argw<元.这样，w=√2-a值与自变量z值之间就有一一对应的关系.如果规 定2m≤arg(z-a)<4r,则元≤argw<2元，w将限制在下半平面，w值与z值 又有新的一一对应关系.在4r≤arg(z-a)<6元，6m≤arg(z-a)<8元，.或者 -2m≤arg(z-a)<0,-4r≤arg(z-a)<-2元，.的规定下，还会不断重复出现 这些结果。 这样看来，只要适当规定宗量的辐角变化范围，就可以将多值函数单值化. 辐角变化的各个周期，给出多值函数的各个单值分枝.每个单值分枝都是单值函 数，整个多值函数就是它的各个单值分枝的总和.在上面的讨论中，多值函数如 √2一a有两个单值分枝，分别是w的上半平面和下半平面： 0≤arg(z-a)<2r给出单值分枝:0≤argw<， 2r≤arg(z-a)<4π给出单值分枝Ⅱ：π≤argw<2元 将多值函数划分为若干个（甚至无穷个）单值分枝，其实质就是限制z的变化 方式，例如在上面的例子中，就是限制z不得绕z=a点或∞点转圈.这种规 定可以用几何方法形象化地表现出来（见图2.4）.在z平面上平行于实轴从。=a 点向右作一割线，一直延续到∞点.规定在割线上岸arg(z-a)=0,就给出单值 分枝1：规定在割线上岸arg(z-a)=2m,就给出单值分枝Ⅱ.两个单值分枝合起 来，就得到完整的w平面，即整个多值函数山.由于割线连结了多值函数的两个 枝点，z=α和0，因此，z不再能够绕单独一个枝点一周（但允许同时围绕两个 枝点一周)
22 第二章解析函数 平 0平国 arg(z-a)=0 argw=0 2平 20平面 arg-a=2r arg0=π 图2.4多值函数w=V2-a的两个单值分枝 应当指出，单值分枝的划分，或者说，宗量辐角变化范围的规定不是唯一的。 例如，也可以规定 -π≤arg(z-a)<π和T≤arg(z-a)<3元， 或 -3元/2≤arg(z-a)<π/2和π/2≤arg(z-a)<5π/2. 割线的作法也是多种多样，甚至不必是直线，只要适当地连结多值函数的枝点，同 时规定割线一侧（或某一点）相关宗量的辐角值（或函数值）即可 将多值函数划分为单值分枝，其优点是每个单值分枝都是单值函数，因而可 以像普通的单值函数那样讨论它们的解析性.多值函数的枝点是奇点，它们（以及 连结枝点的割线)为各个单值分枝所共有，而不只属于某一个单值分枝.在枝点附 近，也不存在只属于一个单值分枝的邻域.这种划分的缺点也正在于限制了宗量 的辐角变化范围，因而不能讨论比较复杂的问题. 为了克服这个缺点，另一种完全确定函 数值与自变量值对应关系的办法是：规定函 数w在某一点0的值，并明确说明z的连 续变化路线。当z沿此曲线连续变化时，山 也随之连续变化. 仍以函数w=V2-工为例.规定w(2) 1,讨论z沿C或C2连续变化到原点时， 图2.5路径C1与C2 函数w之值.C和C2是以z=1为圆心、1 为半径的上半圆周和下半圆周（见图2.5） 显然，当z沿C1移动到z=0时，△arg(z-1)=元，所以 Aargw=Aarg(:-1)=w(0)=ein/2=i
2.4多值函数 23 当z沿C2移动到z=0时，△arg(z-1)=-元，所以 △argw=Aarg(e-1)=-交u(0)=ei=-i 采用这种办法，z的变化路线不受限制，因而就可以从一个单值分枝运动到另 一个单值分枝.在几何图形上，这相当于将两个割开的z平面粘接起来，第一个 面的割线下岸arg(2-1)=2列和第二个面的割线上岸arg(z-1)=2列相连，同 时，第一个面的割线上岸[arg(z-1)=0和第二个面的割线下岸arg(z-1)=4列 相连.这就构成了二叶黎曼面（见图2.6）. 图2.6多值函数w=V2-a的黎曼面 对于函数出=√2-1来说，二叶黎曼面上的z点和w平面上的点是一一对 应的 对于更复杂的根式函数，例如w=2-a或/2-a)(2-可等，也可以类 似地讨论，只是需要注意找出多值函数的全部枝点，并且正确地确定割线的作法. 拾遗补阙 在一般情况下，割线可能不止一条，也不必用一条割线把全部枝点都连接起来。 多值的 2.对数函数lnz 对应于给定的自变量值云，凡是满足e”=z的所有w值均称为对数函数 w=lnz的函数值.它是指数函数w=e2的反函数.令w=u+i,z=re0,就 得到e“,ew=e0.所以 u=lnr=lnz,v=0+2nm(m=0,±1，±2， 以后就把对数函数w=nz明确表示为 w=Inz In |z+i(0+2nnt)=In |a+iargz. (2.11) 对数函数心=z也是多值的，多值性的来源是宗量z辐角的多值性，多值 性的表现则是函数值w的虚部.对应每一个z值，有无穷多个w值，它们的实部 相同，虚部相差2r的整数倍.图2.7给出了对数函数w=1nz的示意图. w=lnz的枝点是z=0和o.作割线连接0与oo,并规定割线一侧的argz 值，即可得到w=lnz的单值分枝
24 第二章解析函数 图27多值函数”=n w=lnz有无穷多个单值分枝.每个单值分枝内，都有 品血= (2.12) 相应地，w=1nz的黎曼面是无穷多叶的，见图2.8. 图2.8w=1n名的黎曼面 练习2.12证明：如果f()是G内的解析函数，且f(z)的模或辐角为常数，则f(2)必 为常数。 3.其他多值函数 初等函数中还有反三角函数 arcsin:=In(iz+v, (2.13) arccos z=:In (+v2-1), (2.14) (2.15) 和一般的幂函数 2“=ealn:(a为任意复数). (2.16) 它们也都是多值函数.对于arcsinz和arccosz,它们都是对数函数与根式函数的 组合，其多值性可以根据这两种基本的多值函数来讨论.而对于arctanz和2a来 说，只涉及到对数函数，因而它们的多值性就只需重复上面的讨论.这里不再一 讨论