2.2解析函数 15 解析函数的实部、虚部之间的这种依赖关系，还可以形象化表现出来.如果 在平面上作一族曲线，（红，）=常数，那么，这一族曲线的切线的方向矢量便是 (0u/au,一u/8x.同样，再作一族曲线，v(c,)=常数，它们的切线的方向矢量 当然也就是（⊙u/ay,-u/0x).由柯西黎曼方程，可以求得这两族方向矢量之间 的标积 00 () %+=0 (2.4) 这表明，这两族曲线是互相正交的.图2.2中给出了两个例子.它们分别是函数 w=22和w=1/2.图中的粗实线表示实部u(红，)=常数，灰线表示虚部 v(x,)=常数. 切=2 w=1/x2 图2.2函数0=z2和0=1/z2的实部与虚部 进一步的问题是：任意一个二元函数，是否都可以用来充当解析函数的实部 或虚部呢？回答是否定的.后面的3.5节中将证明，对于解析函数的实部u(,) 和虚部v(红，)，它们的二阶偏导数一定存在并且连续，因此，根据柯西黎曼方程， 一定有 a au 2 点-品（器）-品- 82u 这说明，（红，）和（红，）都必须满足二维拉普拉斯方程 +-0+-0 (2.5) 即解析函数的实部和虚部都必须是调和函数. 拾遗补朗 函数的解析性，有着丰富的内涵，表现为解析函数具有一系列的重要性质。讨平西场问题 论解析函数的各种特殊性质，就是复变函数论的中心课题
16 第二章解析函数 函数的解析性，总是和一定的区域联系在一起的.有时也称函数在某点解析 这应理解为函数在该点及其邻域内处处可导. 如果一个函数在某点0无定义，或虽有定义但不可导，或虽可导但不解析， 则称0为函数的奇点.例如，z=0就是函数w=1/z的奇点。 如果要讨论函数f(z)在z=∞点是否解析，则需作变换t=1/z,然后讨论 函数f(1/)在t=0点是否解析即可. 练习24证明： 是r+ga=+, 盖ose-ae+fag, dz 品得-fea言e但，c 92(2) )(( 练习2.5举例说明中值定理不适用于解析函数：若函数f()在G中解析，和2以 日拾遗补朗及连结两点的线段均在G中，在此线段上不一定存在和点，使得 整布中值定 f2）-f2l=f(o. 1-z2 练习2.6假设函数f()在区域G内的任何一点都满足f'(2)=0,证明f()在G内 为常数. 练习2.7若函数f(2)在区域G内解析，且Imz)=0,证明f(z)在G内为带数. 练习2.8若函数f(z)=u(红，)+iu(红，)在区域G内解析，且au(红，)+b加（红）=c 其中a,b和c是不为0的实常数，证明f(z)必为常数. 如果a,b和c是不为0的复常数，这个结论还成立吗？ 2.3初等函数 本节介绍一些基本的解析函数，例如幂函数z”,指数函数e,三角函数 sin之，cos名，tan之，双曲函数sinh名，cosh之，等等.它们都可以看成是相应实 变函数在复数域中的推广.这里将着重讨论这些函数作为复变函数所特有的那些 性质. 1.幂函数2” 约定2°三1.此常数函数当然在C上（包括∞点）处处解析 当n=1,2,3,.时，z”在C上解析，z=∞是奇点 当n=-1,-2,.时，z”在C10上（包括∞点）处处解析，此时仍有 (2m)'=nzm-1
2.3初等函数 17 由幂函数还可以进一步定义(n次)多项式（函数） Pn()=an2+an-1zn-1+.+a1za0 和有理函数 R()=2m(e)' Pn(2) 其中Pn(z)和Qm(z)分别是n次和m次多项式. 2.指数函数e e*=etiv=e(cosy+isiny). 由实指数函数及纯虚数指数函数的性质，容易看出，“指数函数相乘等于指数 相加”这个法则，对于复指数函数仍然成立. =e21+2.e(n+）=e1+22)+i(1+)=e1+2 e2在C上解析， (e)'=e. 但e2在无穷远点无定义.例如，当z沿正、负实轴或虚轴趋于o∞时，e逼近不 同的值.e在无穷远点的数值不存在，z=∞是指数函数e的奇点， 复指数函数特有的一个性质是周期性，其周期为2， e:+2mi =e*+i(v+2n)=e*[cos(y+2)+isin(+2)] =e*(cosy+isin y)=ez+iv =e2. 练习2.9如果z沿不同辐角方向趋于0点，试讨论函数e的变化趋势. 又设常数a≠0，试设计一个无穷序列{zn},使z依此序列趋于无穷远点时，函数e趋 于a. 3.三角函数sinz,cos乙，. 复三角函数sin乙，cosz可以用复指数函数定义， els-e-iz sinz= 2i1 (2.6) 由于e与ei在C上解析，所以sin名，cosz也在C上解析， (sin z)'=cosz, (cosz)'=-sin z. z=∞是它们的唯一奇点. 和实三角函数一样，sinz和cosz都是周期函数，周期为2元
18 第二章解析函数 和实三角函数不同，sinz和cosz的模可以大于1.例如， 血i=-g1e=11752012 i 2 cosi=e-1+c=1.5430806 2 其他三角函数，tan乙，cot乙，sec乙，cscz可以用sinz和cosz定义，形式和实数 时一样， 根据这些定义，可以证明，有关实三角函数的各种恒等式对于复三角函数仍 然成立 4.双曲函数sinhz,cosh名， 双曲函数sinh云，coshz也是通过复指数函数定义的 sinh a=e-e- 2 cosh z =e +e- 2 tanhs=sinh之 cosh a' othz=cosh (2.7) sinh z 1 1 sech=cosh 由定义可以直接看出，双曲函数和三角函数能够互化， sinha=-isiniz, coshz=cosiz. tanh=-itaniz. 因此，双曲函数的性质完全可以由三角函数推出.这里只想特别指出两点：一是周 期性，双曲函数sinhz,cosh乙，sechz和cschz的周期是2mi,tanhz和cotha的周 期是：二是导数公式 (sinhz)'=coshz, (cosh z)'=sinhz,(tanh z)'=sech2z.(2.8) 练习2.10证明下列公式： cosh2z-sinh2z=1; 1-tanh2z sech2z: Isinhy≤lsin(z+iy川≤cosh5;Isinhy≤lcos(x+iyl≤cosh5 sinh(a±z2)=sinh z1 cosh z2±cosh z1 sinhz2; cosh(a1±2)=cosh1cosh2z2±sinh z sinhz2
2.4多值函数 19 2.4多值函数 上面讲的都是单值函数，即给定一个自变量值，只有一个函数值与之对应.在 初等函数中，除了这些函数外，还有其他一些函数，例如根式函数（幂函数的反函 数)、对数函数（指数函数的反函数）、反三角函数（三角函数的反函数），等等，它 们都是多值函数.多值函数的概念及其应用，在复变函数中占有重要地位.本节只 介绍根式函数及对数函数，并通过这两种函数阐述多值函数的一些基本概念.别 的多值函数都可以用这两种多值函数表达. l.根式函数√2-a 首先给出根式函数的定义，即开方运算的定义.给定一个自变量值云，则凡是 满足等式w2=z的w值，就定义为根式函数√2的函数值，亦即z的平方根.它 是幂函数w=z2的反函数.容易看出根式函数√？的多值性，因为如果它的函数 值w满足等式w2=云，则-w同样满足（一w)2=之.因此，对应于一个自变量值 z(但z=0除外)，根式函数√E至少可取两个值. 为了更透彻地理解多值函数，首先必须明白函数多值性的原因与表现.为此， 我们现在仔细分析一下函数 w=Vz-a (2.9) 方便的做法是采用极坐标表达式 w=peid,z-a=reio 代入则有p2e20=rei0.所以p2=,20=日+2n元， p=,=号+nmn=0,1,±2，. 因此，对于给定的一个之值，有且只有两个山值与之对应： w1(z)=vrei0/2 (相当于n=0,士2，.)， w(回)=VF4/)=-VFe02(相当于n=士，土3， 这里，函数的多值性来源于宗量z-a(而不是自变量z)辐角的多值性（何相差2π 的整数倍)，多值性的表现则是函数”的辐角（可相差π的整数倍），为了确定起 见，以后就把函数w=√2-a明确表示成 wl=,argw=arg(z-a). (2.10) 为了进一步揭示多值函数w=√2-a的性质，不妨规定好z平面上某一点 rg(z-a)的值，而后研究z沿一定曲线连续变化时w值的相应变化.当z沿一条