10 第一章复数和复变函数 8=z3+23+23+.+23 =23+z10+25+z1+z14+27+z12+26 在得到这两式时用到了z7=1以及 92=4×17+13,93=42×17+15, 33=1×17+1035=14×17+5, 显然s+s=-1.因为2”，z,.,216均匀地分布在单位圆周上，且 2=(216),z9=(2),23=(24),215=(22), 从2,22,24和z8各点的位置可以断定8为正数.直接计算又可验证ss=一4. 因此 8=2(m-),8=-2(Vm+1) 再进一步分别将s和s拆成两组数之和，即令 p=2小+z18+216+z4,p=29+z15+z8+22. q=z3+25+z14+z2,q=z10+z21+z7+25 容易验证p+p=,pp=-1,q+q=寸，gg=-1,且p>0,q>0.所以 p=2(s+Vg2+4),9=2(8+Vg2+4 再令r=z+z16,=z13+4,显然又有r+=卫，rr=q,所以 r=+0=2m2沿-0+原-勾 吊娃补用最后，就求得正十七边形的边长。=V2一，不难用圈规直尺作出， 习 题 因习题答案 1.写出下列复数的实部、虚部、模和辐角： (1)1+iv3 (②)esin,x为实数 (3)e2; (4)e; (⑤)e),(z)是实变数x的实函数；(6)1-cosa+isina,0≤a<2元 2.把下列关系用几何图形表示出来： (1)<2 (②)12=2 (3)12>2 (4)Rez>2
习题 11 (5)1<mz<2 (6)0<arg1-)<F 3.画出下列复数方程的几何图形： ()l2-al=2-,a,b为常数： (2)Azz+az+ax'+C=0,其中A和C为实常数，a为复常数，且 lal2>AC. 4.用复数z表示曲线上的变点，试写出下列曲线方程的复数形式： (1)经过z=a点且与矢量b(即复数b的矢量表示)平行的直线： (2)以z=±d为焦点、长轴为2a的椭圆，a>d>0. 5.将下列和式表示成有限形式： (1)cos中+cos20+cos30+.+cosn-: (2)sin中+sin2p+sin3b+.+sinnφ. 6.证明： 血如mr= 7.求下列序列{}的聚点和极限，如果是实数序列，则同时求出上极限和下 极限： =(-1”2n+ ②2n=(-1”2n+T 1 (3)=n+(-1)r(2n+1)i (4)zn=(2n+1)+(-1)"ni 同=（1+mg 回=(+动）m爱
第二章解析函数 2.1可导与可微 设w=f()是区域G内的单值函数，如果在G内的某点z, 同重与难玉 国主要知识点 智=e+2-四 (2.1) △2 存在，则称函数f(z)在z点可导，此极限值即称为f(z)在z点的导数，记为 旦拾遗补阙f'(2). 爵辇套心点 如果函数w=f()在z点的改变量△w=f(z+△z)-f(2)可以写成 △w=A(z)△z+p(△z), 其中 则称w=f(z)在z点可微，△w的线性部分A(z)△z称为函数w在z点的微分， 记作 dw=A(z)dz, 其中约定dz=△z. 可以证明，如果函数w=f()在z点可导，则一定在该点可微，反之亦然. 并且A(z)=f(z),即 d加=fe)dk或-fe (2.2) 因此导数也称作微商. 需要强调，上面所说的im(④w/△z)存在，就意味着△z以任意方式趋 于0时，△w△z都趋于同样的有限值.反过来说，如果当△z以不同方式趋 于0，△u/△z趋于不同的值的话，则巴，（△u/△）是不存在的. 特别是，考虑△z→0的不同特殊方式，就可以得到关于函数可导的必要条 件.例如， ·△x→0，△y=0, △
2.2解析函数 13 ·△x=0,△y→0， 因此，函数实部和虚部在z点的4个偏导数值必须满足柯西-黎曼条件： 瑞=阳 (2.3) 柯西黎曼条件，是函数可导的必要条件，但不是充分条件.它保证了当△z 以平行于实轴和虚轴这两种特殊方式趋于0时△w/△z逼近同一值，但并不足以 保证当△z以任意方式趋于0时△w/△z逼近同一数值.可以证明，如果函数 f(z)=u(红，)+iu(x,)的实部u(红，)和虚部v(x,)均在(z,)点可微①，且满 足柯西-黎曼条件，则函数f(z)在z点可导. 和实数情形一样，如果函数f()在z点可导，则在名点必连续：但是函数在日拾遗补阙 某点连续，并不能推出函数在该点可导.甚至有函数在某区域内处处连续，却处处 不可导. 导数的定义在形式上和实数中一样，只是把自变量x换成了z.高等数学中 的各种求导数的公式都可搬用到复数中来.例如 (zy=nzn-1,n=1,2,3, 导数的几何意义设w=f(2)在z点可导，则由(2.2)式可以看出（见图 2.1),f'(z)的模f'(z是将微元dz映射为dw的伸缩率（放大倍数），而f'(z)的 辐角argf'(a)则给出映射的偏转角(dw与dz的辐角差). 2平日 0平 +w=f() 图2.1导数的几何意义 ldwl=If'(z)l ldzl,argdw arg f'()+argdz 2.2解析函数 在区域G内每一点都可导的函数，称为G内的解析函数.例如，z”就是C 上的解析函数. ①e,)和红)均可微的充分条件是：因个偏号数和架，部存在且连续
14 第二章解析函数 显然，函数0=∫()在G内解析的必要条件是在G内每一点都满足柯西黎 曼条件，或者说，在G内柯西黎曼方程成立.柯西黎曼方程反映了解析函数的 实部与虚部之间的联系。 练习21证明：柯西-黎曼方程等价于 练习22如果把复变函数∫=u+v看成是(：，y)的二元函数，即 fz,)=u(z,)+iu(, 再进一步看成是名=x+y和z”=x一y的复合二元函数，证明柯西-黎曼方程等价于 g-0 练习2.3证明： r-(金)+('-(》'+()》 -()+()°-()+() 解析函数的实部和虚部不是独立的.知道其中之一，例如实部（红，），根据 柯西-黎曼方程，就可以唯一地（可差一个可加常数）确定虚部（红，.这是因为 d-+=+y 是全微分，因此，通过积分 可以唯一地确定(x, 例2.1已知u(红，)=x2-y2,求f(). 解d加=那+=20tz+a,所以v=2可+C f(a)=(x2-y2)+i(2xy+C)=22+iC 这个问题，还可以有另一种解法，即在(x,)中直接代入 = 而后就能将u(红，)化成(z)+f(2训/2的形式， =(告°-()°-2+ 同样也能求出f(z)=z2+iC