1.2复数序列 5 元，-π/2≤B≤π/2，则 A= cos a +i sin a cos B sina sin月. -sin a sin B cosa-isina cosB 10 i cos B sin B cos a 01/ +sina -sin B -i cosB E（099A -sinB -i cosB 即A=E cosa+I sina.其中E是恒等矩阵 E2=E,EI=IE=I; 而且容易验证，矩阵I就是2×2矩阵中的“虚单位”， I2=-E 因此，引用例1.1中的结果就可以得到 m/2 B(1()coa ina k=0 【n-)/☒ +I∑ =E cosna+I sin no. 1.2复数序列 按照一定顺序排列的复数 zn=xn+ih,n=1,2,3,., 称为复数序列，记为{ 一个复数序列完全等价于两个实数序列. 聚点给定序列{n},若存在复数z,e>0,恒有无穷多个n满足n-<e, 则称z为{z}的一个聚点（或极限点）
6 第一章复数和复变函数 一个序列可以有不止一个聚点，例如序列 京景景后8月. (1.15) 就有两个聚点，士1. 特别是，对于实数序列工n的聚点（也必然是实数），其中数值最大的，称为 n}的上极限，记为画：而数值最小的，称为{红n}的下极限，记为巴 上面的序列(1.15)中，士1就分别是它的上、下极限. 由序列上（下）极限的定义，不难证明，当xn≥0，n≥0时，有 n工n'h≤xn·四n, (1.16a) nh≥n·细h (1.16b) 有界序列和无界序列给定序列{n},如果M>0,使n,都有<M, 则序列称为有界的：否则就是无界的 波尔查诺外尔斯特拉斯定理一个有界的无穷序列至少有一个聚点。 极限给定序列{an},如果存在复数z,e>0,N(e)>0,使当n>N(e) 时，有|n-<c,则称{2n}收敛于z,记为 lim in =2. 一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点. 序列极限存在（序列收敛）的柯西充要条件e>0,3正整数N(),使对于 任意正整数p,有 |2N+p-2N<e. 一个无界序列不可能是收敛的. 1.3复变函数 本节讨论定义在复数平面上的一定区域内的复变函数 为了建立区域的概念，先要定义点集的内点. 如果以某一点为圆心作一个圆，只要半径足够小，使得圆内的所有的点都属 于该点集，则称此点为点集的内点。 区域是满足下列两个条件的点集：(1)全部都由内点组成：（②）具有连通性，即 点集中任意两点，都可以用一条折线连接起来，折线上的点全都属于此点集。 图1.3(a)和(b)中的图形都是区域，但(c)不构成区域. 按照连通性质的不同，还可以将区域分为两类，即
13复变函数 7 O (a) 6 图1.3(a)(b)区域，(c)非区域 。单连通区域：在区域内作任何简单闭合围道（即自身不相交），围道内的点 都属于该区域： 。复连通区域，或称多连通区域. 图1.3(a)中的区域就是单连通区域，而图1.3(b)中的区域则为复连通区域. 区域常常可用不等式表示.例如，z<r表示以原点为圆心、r为半径的圆内 区域：0<argz<π/2表示第一象限：1mz<0表示下半平面.图1.4中给出了几 个示例.在这几个例子中，(b)和（©）属于复连通区域，其余均为单连通区域. (a)<R ()>r ()R<ld<R2 0 0 (d)01 argz<02 (e)Im2>0 (f)<R,Im2 >0 图1.4几个典型的区域（区域内用灰度填充） 与区域有关的概念还有边界点和边界.所谓区域的边界点，并不属于区域，但 是以它为圆心作圆，不论半径如何小，圆内总含有区域的点.边界点的全体就构成 边界. 区域的边界还具有方向.如果区域恒保持在边界的左方，则此走向称为边界 的正向.例如，对于环域R1<<R2,边界是圆周=R1和=2·对于内边 界（圆周=凡）来说，正向是顺时针方向：对于外边界（圆周=2）来说，正
8 第一章复数和复变函数 向是逆时针方向。 区域G加上边界C就构成闭区域G.G=G+C. 设G∈C,如果对于G内的每一个z值，有一个或多个复数值w与之对应， 则称w为：的函数一复变函数，记为 w=f(z). 定义域为G.因为z=x+iy,所以 w=f(z)=u(z,)+iv(,) 一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合。 1.4复变函数的极限和连续 设函数f()在0点的空心邻域①内有定义，若存在复数A,e>0,3(e)> 0,使当0<z-20l<6时，恒有f(2)-A<e,则称z→0时f(2)的极限(=A)存 在，且表示为 lim f()=A. 设函数fa)在0点的邻域内有定义，且mf八)=(2o,即e>0,36e)> 0,使当0<z-0l<6时，恒有f(a)-f(2ol<e,则称f(2)在0点连续. 复变函数中极限和连续概念的表述，形式上和实变函数中完全相同.但由于 涉及的数域不同，因此实际含义并不完全相同. 函数在区域G内每一点都连续，称为在G内连续 在闭区域G上连续的函数具有两个重要性质： (1)f(z训在G上有界，并达到它的上下界： (②)f()在G上一致连续，即E>0,3与z无关的6阳)>0，使G上的任 何两个点和2，只要满足名-2<6，就有f(a)-f(22训<. 连续函数的和、差、积、商（在分母不为零的点）仍为连续函数，连续函数的 复合函数也仍为连续函数. 1.5无穷远点 前面1.3节中已经介绍过有界序列必有聚点的结论.对于无界序列{z,给 定任意正数M,不存在正整数N,使当n>N时，l2<M.换句话说，总有无穷 ①所谓0点的空心邻域，指的是以0点为圆心的环域0<2一0<6.相关的概念还有0点的 香邻拔（简称邻域，则是以0点为圆心的圆域：-01<：有时也称作0点及其邻城，以示强调。 在不易引起歧义的情况下，有时也将空心邻域称作邻域
1.6阅读材料：正十七边形的规尺作图原理 9 多个n满足n>M.这时我们就说0是无界序列的（一个）聚点.例如z=1 和z=0就是序列n=1,2,1,4,1,6,1,8,.的两个聚点.0∞也是一个数：其日拾遗补阙 模大于任何正数，辐角不定。 对o∞的理解 如果一个无界序列在有限远处无聚点，那么，∞就是它的唯一的聚点，或称 无界序列收敛于o∞. ∞也对应于复数平面上的一点（称为无穷远点）：以任意方式无限地远离原点 即可到达无穷远点.包含有无穷远点的复数平面称为扩充了的复数平面，记作C. 为了更直观地表现无穷远点，还可以引进复数球面.过复数平面C上的原点 (0,0)作直径为1的球面，使与C相切，切点称为南极.过南极的直径的另一端称 为北极N.此球面就称为复数球面，如图1.5. 图1.5复数球面 对于C,上一点z,将它和复数球面的北极N相连，此连线和球面必有一交点， 因此，复数球面上的点和C上的点也存在一一对应关系.于是就可以用复数球面 上的交点来表示复数z,例如南极对应于复数0，赤道对应于C上的单位圆周.令 C上的点无限远离原点，就得到∞点在复数球面上的对应点一北极N.对于 无穷远点，还可以用变换（或映射）的语言定义.例如变换w=1/z就建立了复数 z和复数w之间的一一对应关系.复数z=0对应于w=0,而：=0对应于 w=0. 1.6阅读材料：正十七边形的规尺作图原理 本节用复数方法讨论一个几何学问题：正十七边形的圆规直尺作图问题.设 有正十七边形，内接于单位圆.下面就来求出a=2si血（π/17）的代数表达式. 设z=e2m17,由于20,2,2子，.，216都是方程17-1=0的根，0+z+22+ .+z16=0,即z2+2+23+.+216=-1.令 8=2+29+29”+.+291 =z2+z9+z18+215+z16+28+z4+2