vi 目 录 21.4微分方程定解问题和本征值问题的变分形式.(450) 215变边值问题，(452) 21.6瑞利-里兹方法.(454) 习题(459】 第二十二章数学物理方程综述 (461) 22.1二阶线性偏微分方程的分类.(461) 22.2线性偏微分方程解法述评.(465) 22.3非线性偏微分方程问题.(467)】 习题 (471) 第二十三章综合阅读材料（仁） (473) 23.1勒让德函数的朗斯基行列式.(473) 23.2连带勒让德函数的加法公式 (478) 23.3幂级数展开与偏微分方程， (483】 23.4贝塞耳函数对阶求导 (489) 23.5柱函数的梅林变换 ,(496) 参考文献.。 .508】 外国人名译名中英对照表. (510)
第一部分复变函数 第一章复数和复变函数 司重点与难 回主要知识点 1.1预备知识：复数与复数运算 1.复数定义 设有一对有序实数(a,),遵从下列基本运算规则： 加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,1+2), (1.1) 乘法 (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc), 1.2) 则称这一对有序实数(a,)定义了一个复数a,记为 a=(a,b)=a(1,0)+b0,1), (1.3) a称为a的实部，b称为a的虚部， a=Rea,b=Ima. 上面的(11)(1.2)和(13)诸式均为涉及复数的等式.所谓两个复数相等，其 含意是这两个复数的实部、虚部分别相等. 练习11证明复数的加法运算服从下列规律： a+B=8+a;(a+8)+7=a+(B+7). 练习1.2证明复数的乘法运算服从下列规律： a8=Ba;(aB)y=a(B7); a(B+）=a6+an 复数的减法是加法的逆运算， (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d). (1.4) 复数不能比较大小. 日拾遗补阙 2.特殊的复数：0,1和i 复数涵盖了实数作为它的特殊情形.实数a(也可称作复数a)就记为
2 第一章复数和复变函数 a=(a,0)=a(1,0). 因此， a=(a,b)=a(1,0)+b(0,1). (1.3) 其中(1,0)就是实数1.(0,1)称作虚单位，记作i(欧拉，1777年) i=(0,1). (1.5) 显然，由乘法规则可得 (0,1)0,1)=(-1,0)=-1即 2=-1 另一个特殊的复数（也是实数）是零，仍简写作0， 0=(0,0). 不难证明，对于任意复数α， a+0=a,a0=0. 于是，复数a就可以记为 a=atib. (1.6) 3.共轭复数及复数除法 复数a三a-ib与a=a+ib互为共轭.(a)'=a.复数与其共轭复数的乘 积一定为非负实数. aa"(a+ib)(a-ib)=a2+62 复数的除法是乘法的逆运算， 2片-谓-+器+：兰 (1.7) 4.复数的几何表示 复数可以用复平面上的点表示.在复平面上作直角坐标系Oxy,则复数α a+ib可以用横坐标为a、纵坐标为b的点表示.复数和复平面上的点有一一对应 的关系.对于任意一个复数，复平面上都有唯一的一个点与之对应：反之，对于复 平面上的任意一点，也都有唯一的一个复数与之对应（见图1）.以后复数的全体 或复平面记作C. 复数a=a+ib还可以表示成C上的矢量.该矢量在两个坐标轴上的投影分别 为α和b.将矢量平移（例如将它的一个端点移到原点）仍代表同一个复数
11预备知识：复数与复数运算 (ab -a(a-b 图1.1复数a和a 图1.2复数的模和辐角及辐角的多值性 复数加法满足平行四边形法则（或称为三角形法则）：两个复数相加就是横坐 标、纵坐标分别相加. 5.复数的极坐标表示 复数α也可以用极坐标(r,)表示（见图1.2）： a=r(cos0+i sin). (1.8a) 相应地， a*=r(cos0-i sin). (1.8b) T,0称为复数a的模和辐角，分别记为 r=lal,0=arga. (1.9) 显然，a=rcos0,b=rsin0.由于三角函数的周期性，所以复数的辐角不是唯一 的，它还可以加上2的任意整数倍.这个现象称为辐角的多值性.通常把(-元，列 之间的辐角值称为辐角的主值. 在极坐标表达式下，复数的乘法和除法运算就很简单.设有两个复数 a1=T1(cos01+i sin1), a2=r2(cos02+i sin02), 它们的乘积就是模相乘，辐角相加， =rir2[(cos 01 cos02-sin 01 sin 02)+i (sin 01 cos02+cos01 sin 02)] =r1r2lcos(01+02)+isin(01+02l. (1.10) 同样，两个复数相除，就是它们的模相除，辐角相减 品-8g器-君m0-创+ima-1,0训 6.复数的指数表示 可以进一步定义复指数函数
第一章复数和复变函数 ei=cos0+i sin, (1.12) 它具有和实指数函数相同的性质： ei0.ei0=ei(0+0) (1.13) 则复数a又可以表示成 a=reio (1.14a) 而其共轭复数a则为 a'=re-i0. (1.14b) 引进复数的指数表示后，复数的乘除运算可以表示得更简单： aa2=rne9,rze9=rnrze6it）, (1.10) 品=ne4六e- (1.11 T2 例1.1设n为正整数，则 eine =cosn+i sinn =”=@0+i血外-2（倒ot9血时 -登-r(）mgm k=0 +i三-r(a）m-02g 【(n-1)/☒ 其中 (食=” n! 是二项式系数，n/☑)表示不超过n/2的最大整数.比较实部和虚部，即得 n/☒ cn=(-r(0）ae0sn k=0 【m-1/2 例1.2设有2×2矩阵A三 (a6,其中b为实数，且am+=1 -ba° 试计算A”, 解由已知条件，可设a=cosa+i sina cos B,b=sinasinB,其中0≤a≤