目 录 第一部分复变函数 第一章复数与复变函数.（们） 1.1预备知识：复数与复数运算. .(1) 1.2复数序列.（⑤） 1.3复变函数.(6) 14复变函数的极限和连续.，.(8) 1.5无穷远点. .(⑧) 1.6阅读材料：正十七边形的规尺作图原理.（⑨） 习题.(10) 第二章解析函数.(12) 2.1可导与可微.(12 22解折函数，(13 2.3初等函数.(16) 2.4多值函数. .(19） 2.5阅读材料：解析函数的保角性.(25) 习题. (27) 第三章复变积分.(30) 3.1复变积分. .(30) 3.2柯西定理.(31) 3.3两个有用的引理.(35) 3.4柯西积分公式.(36) 3.5高阶导数公式及柯西积分公式的其他推论.(39) 3.6阅读材料：泊松公式. ·(41) 习题，.44.（44 第四章无穷级数.(45) 4.1复数级数.(45) 4.2二重级数. (47) 4.3函数级数.(49) 4.4幂级数.(50) 4.5阅读材料：发散级数与渐近级数.(52)
目 录 习题.(57)） 第五章解析函数的无穷级数展开.(59) 5.1解析函数的泰勒展开 .(59 5.2泰勒级数求法举例· (60 5.3解析函数的零点孤立和解析函数的唯一性 (64 5.4解析函数的洛朗展开.(65) 5.5洛朗级数求法举例.(67) 5.6单值函数的孤立奇点.(70 5.7解析延拓.(73) 5.8阅读材料：伯努利数和欧拉数 (76) 5.9阅读材料：整函数与半纯函数.(77) 习题 (79 第六章留数定理及其应用 中卡卡0行中卡卡1”444”卡卡卡。”444卡“4444卡*44444卡0”4.444“44444*“44404 (81) 6.1留数定理. .(81) 62有理三角函数的积分.(85) 6.3无穷积分 (86 6.4含三角函数的无穷积分 (88) 6.5实轴上有奇点的情形 (89 6.6多值函数的积分，.(91》 67阅读材料：计算含三角函数无穷积分的新方法. 6.8阅读材料：应用留数定理计算无穷级数的和.(100) 习题. ·(101) 第七章函数.(104) 7.1含参量积分的解析性.(104 72函数的定义.(106】 7.3函数的基本性质.(108) 7.4ψ函数 ,4(110 75B函数，.4(114 7.6阅读材料：下函数的普遍表达式 ,(118) 7.7阅读材料：黎曼乙函数和乘性莫比乌斯变换.(121) 习题 (124) 第八章拉普拉斯变换. (125) 8.1拉普拉斯变换的定义与性质.(125) 8.2拉普拉斯积分的收敛性与解析性. (128) 8.3拉普拉斯变换的反演 (130) 84普遍反演公式. (134) “8.5利用拉普拉斯变换计算级数和 .(137）
目录 86阅读材料：关于拉普拉斯变换的理论补充， ·(139) 习 ,(142) 第九章二阶线性常微分方程的幂级数解法.(144 9.1二阶线性常微分方程的常点和奇点，.(144) 9.2方程常点邻域内的解 ·(145) 9.3方程正则奇点邻域内的解.(148) 9.4贝塞耳方程的解. .(158) 9.5阅读材料：超几何函数.(163) 9.6阅读材料：合流超几何函数. (166) 9.7阅读材料：方程非正则奇点附近的解. (168) 习题 (172) 第十章综合阅读材料（一）.(173） 10.1级数展开的加性莫比乌斯反演， .(173) 10.2某些无穷积分的变换公式.(178) 103梅林变换， .(187) 10.4幂级数展开与常微分方程. (198) 10.5二阶线性常微分方程的不变式。 (206) 第二部分数学物理方程 第十一章数学物理方程和定解条件.(213) 11.1弦的横振动方程.(213) 11.2杆的纵振动方程 .++444.(215 113热传导方程， (217) 11.4稳定问题 .(219) 11.5边界条件与初始条件 (220) 11.6内部界面上的连接条件.(223) 11.7定解问题的话定性 (224) 习题.(226列 *第十二章线性偏微分方程的通解 .(227 12.1线性偏微分方程解的叠加性. (227) 12.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 .(228) 12.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解.(231 12.4特殊的变系数线性齐次偏微分方程. (235) 12.5波动方程的行波解 ·(235) 12.6波的耗散和色散，. . ,(238) 12.7热传导方程的定性讨论.(241) ·12.8拉普拉斯方程的定性讨论。 .(243)
iv 目录 习题. .4.,(244 第十三章分离变量法.(245) 13.1两端固定弦的自由振动 .(245) 13.2矩形区域内的稳定问题，(251) 13.3多于两个自变量的定解问题.(253) 13.4两端固定弦的受迫振动.(255) 13.5非齐次边界条件的齐次化.(262) 习题 (267) 第十四章正交曲面坐标系 .(270) 141正交曲面坐标系，(270 ·14.2正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符 (271) ·14.3拉普拉斯算符的平移、转动和反射不变性 (275) 144圆形区域(277) 14.5亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量 (282) 146亥姐霍兹方程在球坐标系下的分离变量，：， (283) 14.7阅读材料：矢量波动方程和矢量亥姆霍兹方程 (285) 习题4， .(289) 第十五章球函数 (290) 15.1勒让德方程的解.(290) 15,2勒让德多项式 (292) 15.3勒让德多项式的微分表示与积分表示. (295) 15.4勒让德多项式的正交完备性. (298) 15.5勒让德多项式的生成函数与递推关系，.：，(302) 15.6勒让德多项式应用举例 .(305) 15.7连带勒让德函数.(309) 15.8球面调和函数.(312 15.9阅读材料：勒让德多项式的克里斯托费尔型和式 (315) (319) 第十六章柱函数. .(321) 16.1贝塞耳函数和诺伊曼函数 (321 16.2贝塞耳函数的递推关系 ,(324】 16.3贝塞耳函数的渐近展开 (326) 16.4整数阶贝塞耳函数的生成函数和积分表示， 16.5见寒耳方程的本征值问题 ·(328) 16.6 虚宗量贝塞耳函数 .334 16.7半奇数阶贝塞耳函数 (337) 16.8球贝塞耳函数. 。 ·(338)
目录 V 习题.(341) 第十七章分离变量法总结.(343) 17.1内积空间.(343) 17.2函数空间 44(346 17.3希尔伯特空间中的线性微分算符.(350) 17.4自伴算符的本征值问题. (354 17.5斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题.(356) 17.6斯图姆-刘维尔型方程本征值问题的简并现象 .(362) 177从斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题看分离变量法，(363) 17.8阅读材料：非厄米算符. (366) 习题. .(371） 第十八章偏微分方程定解问题的积分变换解法.(374) 18.1 拉普拉斯变换方法.(374) 18.2傅里叶变换方法.(378) ”18.3半无界空间的情形.(381 ·18.4关于积分变换的一般讨论 (382 习题. .(387） 第十九章6函数.(388) 19.16函数的定义.(388) *19.2利用6函数计算定积分， 1392 193常微分方程初值问题的格林函数.，.(394 ·19.4常微分方程边值问题的格林函数 (399) *19.5求解常微分方程的格林函数方法， (402) 19.6阅读材料：广义函数理论简介 .(406） 习题. (416） 第二十章偏微分方程定解问题的格林函数解法 (418) 201稳定问题格林函数的概念.(418) 20.2稳定问题格林函数的一般性质 (421) 20.3三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数.(423) 20.4 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数 .(427) 205波动方程的格林函数， (432) *20.6 热传导方程的格林函数. (437) 习题， (440) 第二十一章变分法初步 .(441） 21.1泛函的概念.(441) 21.2泛函的极值.(442) 213泛函的条件极值 (447)