思考题 1.用洛必达法则求极限时应注意什么? 2.把柯西中值定理中的“f(x)与F(x)在闭区间 [a,b]上连续”换成“f(x)与F(x)在开区间(a,b)内连续” 后,柯西中值定理的结论是否还成立?试举例(只需画 出函数图象)说明 冈凶
2．把柯西中值定理中的“ f (x)与F(x)在闭区间 [a,b]上连续”换成“ f(x)与F(x)在开区间 (a,b)内连续” 后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画 出函数图象）说明． 思考题 1．用洛必达法则求极限时应注意什么？
第二节拉格朗日( Lagrange)中值 定理及函数的单调性 、拉格朗日中值定理 二、两个重要推论 函数的单调性 冈凶
第二节 拉格朗日（Lagrange）中值 定理及函数的单调性 一、 拉格朗日中值定理 二、 两个重要推论 三、 函数的单调性
拉格朗旦中值定理 定理1如果函数f(x)满足下列条件: (1)在区间a,b上连续; (2)在开区间(a,b)内可导,那么,在(a,b)内 至少有一点ξ,使得 f(b)-f(a)=f()(b-a) 如果令x=a,Ax=b-a,则上式为 f(x+△x)-f(x)=f(5△x 其中2介于x与x+Ax之间,如果将ξ表是成 2=x+0△x(0<0<1),上式也可写成 f(x+Ar)-f(x)=f(x+OAx)Ar(0<0<1) 拉格朗日中值定理几何演示 冈凶
定理 1 如果函数 f (x)满足下列条件： （1） 在 区间[a,b]上连续； （2） 在开区间(a,b) 内可导，那么，在(a,b)内 至少有一点 ξ ，使得 f (b) − f (a) = f ( )(b − a) . 如果令x = a,Δx = b − a，则上式为 f (x + Δx) − f (x) = f '(ξ)Δx , 其 中 ξ 介 于 x 与 x + Δx 之 间 ， 如 果 将 ξ 表 是 成 ξ = x + Δx(0 1)，上式也可写成 f x x f x f x x x ( ) ( ) '( ) (0 1) + − = + . 一、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理几何演示
二、两个重要推论 推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内满足 f(x)=0,则在(ab)内f(x)=C(C为常数) 证设x12x2是区间(a,b)内的任意两点,且 x1<x2,于是在区间[x,x2]上函数f(x)满足拉格朗日 中值定理的条件,故得 f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1)(x1<5<x2) 由于f(2)=0,所以f(x2)-f(x1)=0,即f(x1)=f(x2) 冈凶
推 论 1 如果函数 f (x)在区间(a,b)内满足 f '(x) 0，则在(a,b)内 f (x) = C（C为常数）． 证 设 1 2 x , x 是区间 (a,b) 内的任意两点，且 1 2 x x ，于是在区间[ , ] 1 2 x x 上函数 f (x)满足拉格朗日 中值定理的条件，故得 由于 f (ξ) = 0，所以 f (x2 ) − f (x1 ) = 0，即 ( ) ( ) 1 2 f x = f x . 2 1 2 1 1 2 f x f x f ( ) ( ) ( )( ) ( ), − = − ξ x x x ξ x . 二、两个重要推论
因为x2x2是(a,b)内的任意两点,于是上式表明 f(x)在(a,b)内任意两点的值总是相等的,即f(x)在 (a,b)内是一个常数,证毕 推论2如果对(a,b)内任意x,均有 f(x)=g(x),则在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个 常数,即f(x)=g(x)+C(C为常数) 证令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=0,由推论1 知,F(x)在(a,b)内为一常数 f(x)-g(x)=C,x∈(a,b),证毕 冈凶
因 为 1 2 x , x 是(a,b)内的任意两点，于是上式表明 f (x)在(a,b)内任意两点的值总是相等的，即 f (x)在 (a,b)内是一个常数，证毕． 推 论 2 如 果 对 (a,b) 内 任 意 x ， 均 有 f (x) = g(x)，则在(a,b) 内 f (x)与g(x)之间只差一个 常数，即 f (x) = g(x) +C（C为常数）． 证 令F(x) = f (x) − g(x)，则F(x) 0，由推论 1 知 ， F(x) 在 (a,b) 内 为 一 常 数 C ， 即 f (x) − g(x) = C, x(a,b)，证毕．