由于x→>x0时,→>x,所以,对上式取极限便得要证 的结果,证毕 注:上述定理对x→>∞时的未定型同样适用,对于 x→x或x→o时的未定型,也有相应的法则 冈凶
由于 0 x → x 时， 0 ξ → x ，所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕． 注：上述定理对x → 时 的 0 0未定型同样适用，对于 0 x → x 或x → 时的未定型 ，也有相应的法则．
3x+2 例1求im +1 3x2-3 解 nx3-3x+2 lim x+1 6x 6 6x-242 例2求lm 1+cos x x→>兀tanx 1+cos x 解lim sIn x lim x→>兀tanx x→)丌 COS X 冈凶
例 1 求 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x ． 解 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x = 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − → x x x x = 6 2 6 lim→1 x − x x = 4 6 = 2 3． 例 2 求 x x x tan 1 cos lim π + → ． 解 x x x tan 1 cos lim π + → = x x x 2 π cos 1 sin lim − → = 0．
T arctan x 例3求lim x→)+00 arctan x 解lin lim 1+x x→)+∞0 x→)+0 X m x>+21+x2 例4求lim Inx x+2x(n>0) 解in Im lin x→)+00 x->+0n 冈凶
例 3 求 π arctan 2 limx 1 x x →+ − ． 解 π arctan 2 limx 1 x x →+ − = 2 2 1 1 1 lim x x x − + − →+ = 2 2 1 lim x x x→+ + = 1． 例 4 求 ( 0) ln lim →+ n x x n x . 解 0 1 lim 1 lim ln lim 1 = = = →+ − →+ →+ n x n x n x nx nx x x x ．
除未定型与一之外,还有0·∞,∞-∞,0,1,0等未 定型,这里不一一介绍,有兴趣的同学可参阅相应 的书籍,下面就∞-∞未定型再举一例 例5求im nx 解这是∞-∞未定型,通过“通分”将其化为 未定型 x+Inx-l xInx-(x lin lim-x In x/ x>l (x-1)Inx x-1 Inx+ 冈凶
例 5 求 − → x − x x x ln 1 1 lim 1 ． 解 这 是 − 未定型，通过“通分”将其化为 0 0未定型． x x x x x x x x x x ( 1)ln ln ( 1) lim ln 1 1 lim 1 1 − − − = − → − → x x x x x x x 1 ln ln 1 1 lim 1 − + + − = → 除未定型0 0与 之外，还有 0 0 0, − ,0 ,1 , 等未 定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应 的书籍，下面就 − 未定型再举一例．
Inx li =lim nx 在使用洛必达法则时,应注意如下几点: (1)每次使用法则前,必须检验是否属于或 未定型,若不是未定型,就不能使用该法则 (2)如果有可约因子,或有非零极限值的乘积因子, 则可先约去或提出,以简化演算步骤; (3)当1im1不存在(不包括的情况)时,并不 能断定m也不存在,此时应使用其他方法求极限 g/ 冈凶
在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 0 0或 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则； (2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) 当 g (x) f (x) lim 不存在(不包括 的情况)时，并不 能断定 g(x) f(x) lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限． x x x x ln 1 1 ln lim 1 − + = → 2 1 1 1 1 lim 2 1 = + = → x x x x