例2设有级数x(4)x+2nn+1an由于R =limlimn->00n-→00 a n+1n因此幂级数(4)的收敛区间是(-1,1)．但级数(4)当x =1时发散,x =-1时收敛，从而得到级数(4)的收敛域是半开区间[-1,1).照此方法，容易验证级数2%与Zn!x"的收敛半径分别为R=+与R=0.后页返回前页
前页 后页 返回 因此幂级数(4)的收敛区间是 ( 1, 1) − . 但级数 (4) 当 x = 1 时发散, x = −1 时收敛, 从而得到级数(4)的收 敛域是半开区间 [ 1, 1) − . 照此方法, 容易验证级数 ! ! n x n n x n 与 的收敛半径分别为R = + 与R = 0. 例2 设有级数 2 , (4) 2 n x x x n + + + + 1 1 lim lim 1, n n n n a n R → → a n + + 由于 = = =
*定理14.3（柯西-阿达玛（Cauchy-Hadamard）定理）对于幂级数(2)，设(5)p= lim'/l a, l,n则有(i)当0<p<+o 时,收敛半径 R=二p(ii)当p=0时, R= +o0;(iii)当 p= +oo 时, R= 0.注由于上极限(5)总是存在,因而任一幂幕级数总能由(5)式得到它的收敛半径后页返回前页
前页 后页 返回 *定理14. 3(柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理) 对于幂级数(2), 设 lim | |, (5) n n n a → = 则有 1 (i) 0 , ; R 当 + = 时 收敛半径 (ii) 0 , ; 当 = = + 时 R (iii) , 0. 当 = + = 时 R 注 由于上极限(5)总是存在, 因而任一幂级数总能 由(5)式得到它的收敛半径
*例3设有级数2n2n-12xYx1+22132n-1322由于 limz/la,所以收敛半径R=2.因x=±22时，级数都发散，故此级数的收敛域为（-2,2)后页返回前页
前页 后页 返回 *例3 设有级数 2 3 4 2 1 2 2 2 4 2 1 2 1 , 3 2 3 2 3 2 n n n n x x x x x x − − + + + + + + + 1 lim | | , 2 n n n a → 由于 = 所以收敛半径 R = 2. 因 x = 2 时, 级数都发散, 故此级数的收敛域为 ( 2, 2). −
x2n80N例4求幂级数的收敛半径和收敛域n-32nn=1解(i)先求收敛半径807N的收敛半径为方法1设z=x2,幂级数-32nn=MnR== lim / n-32" |= 9lim:932nn-→>αn-→80p从而x2=z<9时原级数收敛,x=z>9原级数发.2n8xM的收敛半径为R=3.散，所以-32nn=1前页后页返回
前页 后页 返回 例4 求幂级数 2 2 1 3 n n n x n = − 的收敛半径和收敛域. 解 (i)先求收敛半径. 2 z x = 2 1 3 n n n z n 方法 = − 1 设 , 幂级数 的收敛半径为 2 2 1 lim | 3 | 9lim 1 9, 3 n n n n n n n R n → → = = − = − = 2 x z = 9 2 从而 时原级数收敛, x z = 9 原级数发 2 2 1 3 n n n x n = − 散 R = 3. , 所以 的收敛半径为
方法2应用柯西-阿达玛定理(n=奇数时，a，=0)由于2n2n11limp= lim"/iim3321n-n-003 n-→00na11一32n所以，收敛半径为R=3.(ii) 再求收敛域.当x=±3 时,相应的级数都是32n32m823，由于=1，因此该级数发散|n-32"n->00n=1所以原级数的收敛域为(-3,3)。后页返回前页
前页 后页 返回 方法2 应用柯西-阿达玛定理 ( , 0), n a = = 奇数时 n 由于 2 2 1 lim | | lim 3 n n n n n n a n → → = = − 2 2 1 1 1 lim , 3 3 1 3 n n n → n = = − 所以, 收敛半径为 R = 3. (ii) 再求收敛域. 当 x = 3 时, 相应的级数都是 2 2 1 3 3 n n n n = − 2 2 3 lim 1 3 n n n→ n = − , 由于 , 因此该级数发散, 所以原级数的收敛域为 ( 3, 3) −