间的长度，则称R为幂级数的收敛半径.事实上，收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的上确界.所以有(i) 当 R= 0 时,幂级数(2)仅在 x = 0 处收敛;(ii) 当 R= +80 时,幂级数(2)在(-80,+)上收敛;(ii)当 0 < R< +oo 时,幂级数(2)在(-R,R) 内收敛;对一切满足不等式x>R的x,幂级数(2)都发散;至于x=±R,(2)可能收敛也可能发散.因此称(-R,R)后页返回前页
前页 后页 返回 间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收 敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的 上确界. 所以有 (i) 当 R = 0 时, 幂级数(2)仅在 x = 0 处收敛; (ii) 当 时 幂级数 在 上收敛 R = + − + , (2) ( , ) ; (iii) 当 时 幂级数 在 内收敛 0 , (2) ( , ) ; + − R R R 对 一切满足不等式 x R 的 x , 幂级数(2)都发散; 至 于 x R = , (2)可能收敛也可能发散. 因此称 ( , ) −R R
为幕级数(2)的收敛区间.怎样求得幕级数(2)的收敛半径和收敛区间呢？定理14.2对于幂级数(2),若lim V/a,| = p,(3)则当(i) 0<p< + 时, 幂级数(2)的收敛半径 R=二p(ii) p= 0 时, 幂级数(2)的收敛半径 R= +oo;(ii) p= +o 时,幂级数(2)的收敛半径 R=0.后页返回前页
前页 后页 返回 为幂级数(2)的收敛区间. 怎样求得幂级数(2)的收敛 半径和收敛区间呢? 定理14.2 对于幂级数(2), 若 lim , (3) n n n a → = 则当 1 (i) 0 , (2) ; R + = 时 幂级数 的收敛半径 (ii) 0 , (2) ; = = + 时 幂级数 的收敛半径 R (iii) , (2) 0. = + = 时 幂级数 的收敛半径 R
证对于幂级数la,x",由于n=0lim /a,x"|=lim /a, I/ x|= p/ x |,根据级数的根式判别法,当plx<1时，级数Zla,x"I收敛.当p|x>1时,级数发散.于是n=0(i) 当0<p<+o时,由plx1得幂级数(2)收敛半1径R=一;p(i)当p=0时，对任何x皆有plx<l,所以R=+;后页返回前页
前页 后页 返回 证 0 | |, n n n 对于幂级数 由于 a x = lim | | lim | | | | | |, n n n n n n n a x a x x → → = = 根据级数的根式判别法, 当 | | 1 x 时, 级数 0 | | n n n a x = 收敛. 当 | | 1 x 时, 级数发散. 于是 (i) 当 0 + 时, 由 | | 1 x 得幂级数(2)收敛半 径 1 R ; = (ii) 当 时 对任何 皆有 = 0 , x | | 1, x 所以 R = +;
(ii)当p=+o 时,则对除 x = 0 外的任何 x皆有px>1,所以R= 0.注由定理14.2可知，一个幂级数的收敛域等于它的收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点在第十二章 S 2第二段曾经指出：若 limlalp,一n->00 [an ]则有 lim"la,I=p.因此也可用比式判别法来得出幕级数（2）的收敛半径.究竟用比式法还是根式法可以参考第十二章的相关说明返回前页后页
前页 后页 返回 (iii) 当 时 则对除 外的任 = + = , 0 x 何 皆有 x | | 1, 0. x R = 所以 注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点. 在第十二章§2第二段曾经指出: 若 1 | | lim , | | n n n a a + → = 则有 lim | | . n n n a → = 因此也可用比式判别法来得出 幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明
n?a n+1例1级数Z>1(n →00),,由于.2，(n + 1)?ann所以其收敛半径R=1，即收敛区间为(-1,1)；而当(±1)"收敛，所，，由于级数x=±1时,有=n?nnt"-L在x=±1时也收敛.于是级数Z以级数n?9n的收敛域为[-1,1]后页返回前页
前页 后页 返回 2 , n x n 级数 由于 2 1 2 1( ), ( 1) n n a n n a n + = → → + 例1 所以其收敛半径 R = 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) − ; 而当 2 2 2 ( 1) 1 1 1 , , , n x n n n = = 时 有 由于级数 收敛 所 2 1 n x x n 在 时也收敛. = 2 n x n 以级数 于是级数 的收敛域为 [ 1, 1]. −