下面讨论幂级数(2)的一致收敛性问题定理14.4 若幂级数(2)的收敛半径为R>0,则在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]C(-R,R)上，级数(2)都一致收敛证 设x=max[lα l,Ibβ e(-R, R),那么对于[a,b] 上任一点x，都有[anx"|≤|anx"|.由于级数(2)在点x绝对收敛，由优级数判别法得级数(2)在[a,b]上一致收敛后页返回前页
前页 后页 返回 下面讨论幂级数(2)的一致收敛性问题. 定理14. 4 若幂级数(2)的收敛半径为 R 0 , 则在它 的收敛区间 ( , ) −R R 内任一闭区间 [ , ] ( , ) a b R R − 上, 级数(2)都一致收敛. 证 设 那么对于 上 x a b R R a b = − max{| |, | |} ( , ), [ , ] 任一点x, 都有 | | | | . n n n n a x a x 由于级数(2)在点 x 绝对收敛, 由优级数判别法得级 数(2)在[ , ] a b 上一致收敛
定理14.5 若幂级数(2)的收敛半径为R>0,且在x= R(或x =-R)时收敛,则级数(2)在[0, RI (或[-R,0])上一致收敛证 设级数(2)在x = R时收敛,对于x E[0,R]有()Za,x"-Za,R"Rn=0n=0A()已知级数文a,R"收敛,函数列在[0, R] 上Rn=0后页返回前页
前页 后页 返回 定理14. 5 若幂级数 (2) 的收敛半径为 R 0 , 且在 x R = (或 x R = − )时收敛, 则级数(2)在 [0, ] R (或 [ , 0] −R )上一致收敛. 证 设级数(2)在 x R = 时收敛, 对于 x R [0, ] 有 0 0 . n n n n n n n x a x a R R = = = 0 [0, ] n n n n x a R R R 已知级数 收敛,函数列 在 上 =
递减且一致有界，即(x()1≥≥≥...≥0.-RR(R故由函数项级数的阿贝耳判别法，级数(2)在[0,R]上一致收敛对于一般幂级数(1)的收敛性问题，可仿照上述的办法来确定它的收敛区间和收敛半径.请看例子返回前页后页
前页 后页 返回 递减且一致有界, 即 2 1 0. n x x x R R R 故由函数项级数的阿贝耳判别法, 级数(2)在 [0, ] R 上一致收敛. 对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办 法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子
例5级数2(-1_*1+(-1(x -1)"+ .,(6)222.22"n2"n12 n+l (n + 1)n由于2(n+1) ~(n → 0),12"n所以级数(6)的收敛半径R=2，从而级数(6)的收敛区间为Ix-1< 2即(-1,3).后页返回前页
前页 后页 返回 例5 级数 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) , (6) 2 2 2 2 2 n n n n x x x x n n − − − − = + + + + 由于 1 1 2 ( 1) 1 ( ), 1 2( 1) 2 2 n n n n n n n + + = → → + 所以级数(6)的收敛半径 R = 2 , 从而级数(6)的收敛 区间为 | 1 | 2 x − 即 ( 1, 3). −
当 x =-1时,级数(6)为收敛级数112-=-1+"=+...=+.+++23n当x=3时，级数(6)为发散级数2-2+...+=+·23n于是级数(6)的收敛域为[-1,3)前页后页返回
前页 后页 返回 ( 2) 1 1 1 1 ( 1) . 2 2 3 n n n n n − = − + − + + − + 当 x = 3 时, 级数(6)为发散级数 2 1 1 1 1 1 . 2 2 3 n n n n n = = + + + + + 于是级数(6)的收敛域为 [ 1, 3). − 当 x = −1 时, 级数(6)为收敛级数