S2连续函数的性质在本节中，我们将介绍连续函数的局部性质与整体性质.熟练地掌握和运用这些性质是具有分析修养的重要标志一、连续函数的局部性质二、闭区问上连续函数的性质三、反函数的连续性四、一致连续性前页返回后页
前页 后页 返回 §2 连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局 一、连续函数的局部性质 四、一致连续性 三、反函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质 这些性质是具有分析修养的重要标志. 部性质与整体性质.熟练地掌握和运用 返回
一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指：若函数f在点x连续（左连续或右连续），则可推知f在点x，的某个局部邻域（左邻域或右邻域）内具有有界性、保号性、四则运算的保连续性等性质前页后页返回
前页 后页 返回 一、连续函数的局部性质 x0 所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0的某 号性、四则运算的保连续性等性质. 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保
定理4.2（局部有界性）若函数f在点x，连续，则f在某邻域U(x）上有界定理4.3（局部保号性）若函数f在点x.连续，且f(x)>0(或f(x)<0)，则对任意一个满足0<r<f(x,)或(f(x,)<-r<0)的正数 r,存在8>0, 当 xe(x, -8,x, +8) 时,(或 f(x)<-r<0),f(x)>r后页返回前页
前页 后页 返回 0 f U x 在某邻域 ( ) . 上有界 定理4.2（局部有界性） 若函数 f 在点 x0 连续， 则 f (x) r (或 f (x) −r 0), 0 0 0 ( ) ( ( ) 0) , − r f x f x r r 或 的正数 存在 0 定理4.3（局部保号性） 若函数 f x 在点 连续,且 ( ) 0 ( ( ) 0 ) , f x0 或 f x0 则对任意一个满足 0 0 − + 0, ( , ) , 当 时 x x x
定理4.4（连续函数的四则运算)若函数f(x),g(x)均在点x，连续，则函数(1) f(x)+g(x),(2)f(x) -g(x),(3) f(x)·g(x),(4) f(x) / g(x), g(x ) ±0在点x，也是连续的。后页返回前页
前页 后页 返回 (1) ( ) ( ), f x g x + (2) ( ) ( ), f x g x − 定理4.4（连续函数的四则运算） 若函数 f x g x ( ), ( ) 均在点x0连续,则函数 0 (3) ( ) ( ), f x g x (4) ( )/ ( ), ( ) 0 f x g x g x 0 在点 也是连续的 x
若函数f(x)在点x,连续，g(u)在点u定理4.5连续,u,=f(x,). 则复合函数g(f(x)在点x,连续证 由于g(u)在点 u,连续,因此对于任意的 ε>0,存在s >0,当|u-u,<s 时,有1 g(u)-g(u,) /<后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 连续, ( ). u f x = 0 则复合函数 在点 连续 g f x x ( ( )) . 0 定理4.5 若函数 f x x ( )在点 0 连续，g u u ( )在点 0 , 存在 1 0 1 当 | | , u u − 时 有 0 | ( ) ( ) | , g u g u − 证 因此对于任意的 0 , 0 由于 g u u ( ) , 在点 连续