P2(x)SJ f(x, y)dxdy =于是dxf(x,y)dyP(x)D上式右端的积分称为先对后对x的二次积分.即先把x看作常数,把f(x，y)看作的函数,并对计算从Φ(x）到2(x）的定积分：然后把计算的结果再对x计算在区间[α，b1上的定积分注：上式对于在区域D上的一般可积函数f(x,y)仍成立O0000?机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x D f x y dxdy dx f x y dy = 上式右端的积分称为先对 y 后对 x 的二次积分. 即 注: 上式对于在区域D 上的一般可积函数f (x, y)仍成立. 先把 x 看作常数, 把 f (x , y)看作 y 的函数, 并对 y 计算 从 1 ( ) x 到 2 ( ) x 的定积分; 然后把计算的结果再对 x 计算在区间[a , b ]上的定积分
2、积分区域为：D:gi(y)≤x≤9,(y), c≤ y≤d.yyY一型区域Cx=p(y)x=q(y)DD穿过区域D内部且平行x=(y)x=,(y)于x轴的直线与D的边cC界不多于两个交点X>xP2()S"(JJJ f(x,y)do=f(x,y)dxP(y)D92(y)Cdyf(x,y)dx.Pi(y)o00l00x机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) . d y c y D d y c y f x y d f x y dx dy dy f x y dx = = 2、积分区域为： c y d . 1 2 D y x y : ( ) ( ), 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) D c d c d 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) D Y －型区域 穿过区域D 内部且平行 于 x 轴的直线与D 的边 界不多于两个交点
当被积函数f(x,y)在D上变号时,由于f(x,y)+[f(x, y)f(x, y) - f(x,y)f(x,y)= 22fi(x,y)f2(x,J) 均非负JJ, (x,y)dxd y= JJ,Ji(x,y)dxd y- JJ, J2(x,y)dxd y因此上面讨论的累次积分法仍然有效：说明：二重积分化为二次积分的关键是确定积分限和积分顺序(积分域作图)O0000?机动自录上页下页返回结束
当被积函数 f (x, y) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 二重积分化为二次积分的关键是确定积分限和 积分顺序. (积分域作图)
说明：（1）若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域则有J,f(x,y)dxdyyy=2(x)drP2(x)bx=以2(y)f(x,y)dyx=dxDPi(x)ayYPi(x)2(c(x, y)dxxolab x为计算方便,可选择积分序，必要时还可以交换积分序y(2）若积分域较复杂,可将它分成若干DDiX-型域或Y-型域，则L3JJ。= J, +JJ , +JJD0xO0000x机动目录上页下页返回结束
o x y 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x o x y D a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 , = + + D D1 D2 D3 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.计算I：T_xydo,其中D是直线y=1,x=2,及V= x 所围的闭区域l≤y≤x解法1.将D看作X-型区域，则D1≤x≤2y2[=’dxydy="[2 ]'dx9[[1x3-2x ]dx8x 2xCy≤x≤2解法2.将D看作Y-型区域，则D1≤y≤29[T1x2y]dy=[[2y-23]dy"xyd x =8O0000?机动目录上页下页返回结束
x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 dy 例1. 计算 d , = D I xy 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1 y x 1 x 2 y x 2 1 y 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束