实践应用 问题 三人合作效益分配问题 问题的提出: 一般来说,从事某一活动(比如经济活动、社会活动)的各个方面若能同李合作,往往 能够 获得比个人单独活动更大的效益或更小的开支。确定合理地分配这些效益(或分担这些费用) 方案是促成合作的前提,我们先研究一个简单的例子。 设甲、乙、丙三人经商,若个人单干,每人仅获利1元:若甲、乙合作可获利7元;甲 丙合作 可获利5元:乙丙合作可获利4元;若三人合作可获利10元。问三人合作时应如何合理地 分配这10 元的利益。 问题的解答 我们自然会想到列方程解决问题,设甲、乙、丙三人应各得x1,x2,x3元,则应满足 (1)x1+x2+x3=10 (2)x1,x2,x3≥1,x1+x2≥1,x1+x3≥5,x2+x3≥4 (2)式表示这种分配必须不小于单干或者二人合作时的收入。容易看出满足(1)、(2)的 有很多,如(x1,x2,x3)=(53,2),(1,x2x3)=(44,2 (x1x2,x2)=(43.52.5)
实践应用 问题一 三人合作效益分配问题 问题的提出： 一般来说，从事某一活动（比如经济活动、社会活动）的各个方面若能同李合作，往往 能够 获得比个人单独活动更大的效益或更小的开支。确定合理地分配这些效益（或分担这些费用） 的 方案是促成合作的前提，我们先研究一个简单的例子。 设甲、乙、丙三人经商，若个人单干，每人仅获利 1 元；若甲、乙合作可获利 7 元；甲 丙合作 可获利 5 元；乙丙合作可获利 4 元；若三人合作可获利 10 元。问三人合作时应如何合理地 分配这 10 元的利益。 问题的解答： 我们自然会想到列方程解决问题，设甲、乙、丙三人应各得 元，则应满足 （1） （2） ， ， ， （2）式表示这种分配必须不小于单干或者二人合作时的收入。容易看出满足（1）、（2）的 解 有很多，如 ，
等。那一组解最合理?如何求出最合理的解呢? 先看几种特殊情形下利益的分配: 首先设甲、乙、丙单独经商或两个合作经商均无活力,而三人合作经商能获利1元,把 该合作记为23,合理的分配办法是甲、乙、丙三人各得三元 又设三人单独经商均无获利,甲、乙合作获利1元,甲、丙合作、乙、丙合作均无获 利 甲、乙、丙三人合作获利1元,记该合作为2,我们认为合理的分配方法是丙的获利为0 元,甲乙的获利相等各位一元 再设三人合作中,只要有甲参加就获利1元,否则获利为0元,此合作记为,合理 的分 配方案是甲获利1元,乙丙个获利0元。 同理,可定义合作2,召3,V13,V23,且可给出合理的分配方案 以上所讨论的合作,2,召,2,3,23,23可以认为是最简单 的三人合作,可称为基本合作,其他任意一种合作都可以由这7个合作都可以由这7个基本 合作线 性表示出来,如果我们问题中的合作成为V,那么可得 v=+v2+73+512+3713+223-3123 甲、乙、丙三人的利益分配在上述基本合作的表示下也应该是可加的,所以 甲的获利为1+5×+3×--3×==4元 22
等。那一组解最合理？如何求出最合理的解呢？ 先看几种特殊情形下利益的分配： 首先设甲、乙、丙单独经商或两个合作经商均无活力，而三人合作经商能获利 1 元，把 该合作记为 ，合理的分配办法是甲、乙、丙三人各得 元。 又设三人单独经商均无获利，甲、乙合作获利 1 元，甲、丙合作、乙、丙合作均无获 利， 甲、乙、丙三人合作获利 1 元，记该合作为 ，我们认为合理的分配方法是丙的获利为 0 元，甲乙的获利相等各位 元。 再设三人合作中，只要有甲参加就获利 1 元，否则获利为 0 元，此合作记为 ，合理 的分 配方案是甲获利 1 元，乙丙个获利 0 元。 同理，可定义合作 ， ， ， ，且可给出合理的分配方案。 以上所讨论的合作 ， ， ， ， ， ， 可以认为是最简单 的三人合作，可称为基本合作，其他任意一种合作都可以由这 7 个合作都可以由这 7 个基本 合作线 性表示出来，如果我们问题中的合作成为 ，那么可得： 甲、乙、丙三人的利益分配在上述基本合作的表示下也应该是可加的，所以 甲的获利为 元
乙的获利为1+5×二+2×-3×=3.5元 丙的获利为1+3×二+2×-3×二=2.5元 问题二 遗传模型 问题的提出: 遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病,我们把常染色体的 基因记为A,不正常基因记为a,并以AA、Aa、aa分别表示正常 人、隐性患者、显性患者的基因型,假设初始状态为AA、Aa、aa基因的 人口所占的百分比分别为a0、如、C,讨论在以下两种情况下第n代人口中 这三类人口所占的比例 (1)控制结合:显性患者不能生育后代:隐性患者只能与正常人结合生于后代 (2)自由结合:这三种基因的人任意结合生育后代 问题的解答 表一基因转移关系 概率 父母基因型
乙的获利为 元 丙的获利为 元 问题二 遗传模型 问题的提出： 遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病，我们把常染色体的 基因记为 ，不正常基因记为 ，并以 、 、 分别表示正常 人、隐性患者、显性患者的基因型，假设初始状态为 、 、 基因的 人口所占的百分比分别为 、 、 ，讨论在以下两种情况下第 n 代人口中 这三类人口所占的比例。 （1） 控制结合：显性患者不能生育后代；隐性患者只能与正常人结合生于后代。 （2） 自由结合：这三种基因的人任意结合生育后代。 问题的解答： 表一 基因转移关系 概率 父母基因型
AAAA aa AA aa-aa AA Aa AA 1-41 子代基因Aa 0 型 1-2120 0 2 01212 0 4 我们将AA型、Aa型、aa型基因对的人在第n代的人口中所占的比例记 为x(U)、x2(a)、x3(n),由假设x(0)=a0、x2(0)=b x 在(1)控制结合的情况下,从n=1开始有x3(0)=C0,即不再有显性患 者,由表一可得转移矩阵为 2 所有遗传模型x()=X(-1)n=1 递推得(n)=xx(0)n=12 b 2 0
- - - - - 子代基因 型 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 我们将 型、 型、 型基因对的人在第 n 代的人口中所占的比例记 为 、 、 ，由假设 、 、 。 在（1）控制结合的情况下，从 开始有 ，即不再有显性患 者，由表一可得转移矩阵为 所有遗传模型 递推得 即
由此看出隐性患者的比例x2()随n的增大将逐渐消失,这正是我们所希望的。 在(2)中自由结合时,三种基因型人口随机结合而生育后代,这也是自然界生 物群体的一种最简单的结合方式,我们还需要两点假设 1.三种基因的两性人口总相等 2.每一个属于AA型、Aa型、aa型基因的第n代全体,都以 x1(n)x2(n):x2(n)的数量比例为概率,与每一个属于A4型、Aa 型、aa型基因的异性结合生育后代。 由于三种基因的初始分布为a0、b、Co,基因A和a在人口群体中出现 的概率(实际为频率)为p=a0+b,q=C0+b,显然 p+q=a0+b+co=1,再由表一所示的基因转移关系,可以求出父母代为 AA型、Aa型、aa型基因时的转移矩阵分别为 2 24 00 12 T2=1 0 2 000 0 0 遗传模型分别为: x(+1)=1x(n x(+1)=z2x()
由此看出隐性患者的比例 随 n 的增大将逐渐消失，这正是我们所希望的。 在（2）中自由结合时，三种基因型人口随机结合而生育后代，这也是自然界生 物群体的一种最简单的结合方式，我们还需要两点假设： 1．三种基因的两性人口总相等； 2．每一个属于 型、 型、 型基因的第 n 代全体，都以 ： ： 的数量比例为概率，与每一个属于 型、 型、 型基因的异性结合生育后代。 由于三种基因的初始分布为 、 、 ，基因 和 在人口群体中出现 的概率（实际为频率）为 ， ，显然 ，再由表一所示的基因转移关系，可以求出父母代为 型、 型、 型基因时的转移矩阵分别为： ， ， 遗传模型分别为：