华北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲义）第三章 线性方程组 §1 消元法

第三章线性方程组 在第一、二章中,我们曾经以行列式和逆阵为工具解决了一类线性方程组的 求解问题。本章将系统地解决一般线性方程组的求解问题。所用的工具是克莱姆 法则、初等变换、向量等。 §1消元法 中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法一一高斯消元法。下面再 作三例,以求其规律 2x2=4 例1解线性方程组{x+x2+2x=1 (1) 解:交换第一、二两个方程 xtx 得同解组{2x-x2+2x=42) 4x1+x2+4x3=2(3) 2x2=1(1) 得同解组 3x,-2x,=2 x2-4x3 (3) [(3)-(2)]÷(-2) x1+x2+ ) 得同解组 (2 23") 至此消元过程完结,接下来是回代过程 将(3)代入(2)得x2=2,再将x2=2,x3=2代入(”)得x1=-1 从而(2)有唯一解:x1=-1,x2=-2,x3=2,也是(1)的唯一解 +3y-52=-1 例2求解线性方程组2x+6-32=5(2) 3x+9y-10z=2() x+3y-5 (1) 解:(2)-2×(1),(3)-3×(1)得同解组 7z=7 (2)

第三章 线性方程组 在第一、二章中，我们曾经以行列式和逆阵为工具解决了一类线性方程组的 求解问题。本章将系统地解决一般线性方程组的求解问题。所用的工具是克莱姆 法则、初等变换、向量等。 §1 消元法 中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元法。下面再 作三例，以求其规律。 例 1 解线性方程组      + + = + + = − + = 4 4 2 2 1 2 2 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x （1） 解：交换第一、二两个方程， 得同解组 ( ) ( ) ( )      + + = − + = + + = 4 4 2 3 2 2 4 2 2 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x （2）-2 (1) ，（3）-4 (1) 得同解组 ( ) ( ) ( )      − − = −  − − =  + + =  3 4 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x [（ 3 ）-（2 ，）]  （-2） 得同解组 ( ) ( ) ( )      =  − − =  + + =  2 3 3 2 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 x x x x x x （2） 至此消元过程完结，接下来是回代过程： 将 (3) 代入 (2) 得 2 x =-2，再将 2 x =-2， 3 x =2 代入 (1) 得 1 x =-1， 从而（2）有唯一解：x1=-1，x2=-2，x3=2，也是（1）的唯一解 例 2 求解线性方程组 ( ) ( ) ( )      + − = + − = + − = − 3 9 10 2 3 2 6 3 5 2 3 5 1 1 x y z x y z x y z 解： (2)-2  (1)，(3)-3  (1) 得同解组 ( ) ( ) ( )      = −  =  + − = −  5 5 3 7 7 2 3 5 1 1 z z x y z

) (2)÷7,(3)÷5得同解组 3”) (3”)=(2")得 x+3y-5z=-1 二 其解为z-1,y=t(任意),x=4-3t,所以方程组有无穷多解 例3求解线性方程组{2x+6y-32=5 3x+9y-10z=3 3y-5z=-1 解:同例2,得同解组: 7z=7矛盾,无解 5z=6 以上三例,求解过程中,对方程组共施行了三种变换 1)互换两个方程的位置 2)k×某一方程(k≠0) 3)用一个数k乘某一方程后加到另一个方程上去。 称为方程组的初等变换,与矩阵的初等行变换完全相同。所以线性方 程的求解完全可以由其增广矩阵的行初等变换求出。 例4求解线性方程组 x1+x2-x3-x4-2x5=2 x1-x2 2x。=7 2x1+2x,+5x2-x4+ 18 解:先写出其增广矩阵并施以行的初等变换,化为上阶梯形 1-23117 11-1-1-22 03-4-2-3-5 2-110-27 225-1118 06 3-14 1-23 23117 2+>/c 03-4-2-3-5 00-10 0010 0071514

(2)  7， (3) 5 得同解组 ( ) ( ) ( )      =  =  + − = −  1 3 1 2 3 5 1 1 z z x y z (3) = (2) 得    = + − = − 1 3 5 1 z x y z 其解为 z=1，y=t(任意)，x=4-3t，所以方程组有无穷多解。 例 3 求解线性方程组      + − = + − = + − = − 3 9 10 3 2 6 3 5 3 5 1 x y z x y z x y z 解：同例 2，得同解组：      = = + − = − 5 6 7 7 3 5 1 z z x y z 矛盾，无解 以上三例，求解过程中，对方程组共施行了三种变换： 1）互换两个方程的位置； 2）k  某一方程 （k≠0）； 3）用一个数 k 乘某一方程后加到另一个方程上去。 ——称为方程组的初等变换，与矩阵的初等行变换完全相同。所以线性方 程的求解完全可以由其增广矩阵的行初等变换求出。 例 4 求解线性方程组： (3) 解：先写出其增广矩阵并施以行的初等变换，化为上阶梯形               − − − − − − − 18 7 2 7 1 2 2 1 1 0 1 1 5 1 1 3 2 1 1 2 2 2 1 1 ⎯r⎯2 −r1⎯,r3−⎯2r1 ,r⎯4 −⎯2r1→               − − − − − − − − − − − − 4 7 5 7 1 4 3 1 3 2 2 1 1 5 4 3 6 3 3 2 0 0 0 1 ⎯r⎯3 −r⎯2 ,r4 −⎯2r2→               − − − − − − − − 14 2 5 7 5 1 3 1 1 0 2 1 7 1 4 3 0 0 3 2 0 0 0 1 ⎯r⎯4 +⎯7r3→               − − − − − − 0 2 5 7 2 1 3 1 1 0 2 1 0 1 4 3 0 0 3 2 0 0 0 1        + + − + = − + − = + − − − = − + + + = 2 2 5 18 2 2 7 2 2 2 3 7 1 2 3 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

(系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等) 再写出最后一个矩阵所对应的方程组便得到(3)的同解方程组: x1-2x2+3x3+x4+x5=7 3x,-4x3-2x4-3 2 2 0 自下而上回代,解出用x5表达x1,x2,x,x4的结果 x1=3+2x x2=1+x(x可任意,称为自由未知量) 所以(3)有无穷多解 一般地,我们得到下述关于线性方程组有解的判别定理: 定理1线性方程组 aux,+aux+.+aux=b, a2x+a,,x,+.+a,,x,=b, amIx+am2x2+.+amx,= b 有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等,即R(A)=R(B)。 b 其中A=aa2 B= 22 AB, b 证:利用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形 d p()→(C2)0c 0|d 00 (不妨设c1,ca…cx不为零) 相应地,方程组(4)就化为与它同解的阶梯形方程组

（系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等） 再写出最后一个矩阵所对应的方程组便得到（3）的同解方程组： 自下而上回代，解出用 x5表达 x1，x2，x3，x4的结果：        = = − = + = + 4 5 3 5 2 5 1 5 2 2 1 3 2 x x x x x x x x （ 5 x 可任意，称为自由未知量） 所以（3）有无穷多解。 一般地，我们得到下述关于线性方程组有解的判别定理： 定理 1 线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b    1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ........................................... 有解的充要条件是它的系数矩阵 A 与增广矩阵 B 的秩相等，即 R(A)=R(B)。 其中 A=               m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 ，B=               mn m n n m m b b b a a a a a a a a a         2 1 2 1 2 22 12 1 21 11 = ( ) A B1 证：利用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形 B= ( ) A B1 → D= ( ) C D1 =                     + 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1                     r rn r n rr r d d d c c c c c （不妨设 c11,c22 …crr不为零） 相应地，方程组（4）就化为与它同解的阶梯形方程组        − = + = − − − = − − + + + = 2 0 2 3 4 2 3 5 2 3 7 4 5 3 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x

0=d 0=0 由于初等行变换不改变矩阵的秩,所以R(A)=R(C),R(B)=R(D) (i)必要性若方程组(4)有解,则方程组(5)也有解,故d-=0, 这时R(D)=R(C),从而R(A)=R(B)。 (ⅱ)充分性若R(A)=R(B),于是R(C)=R(D)因而d-=0,所以 方程组(5)有解,从而方程组(4)有解。 定理2若方程组(4)的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等,且等于r, R(A)=R(B)=r,则 (i)当r=n时,(4)有唯一解 (i)当r<n时,(4)有无穷多解 推论当mn时,齐次线性方程组 1x1+al12x2+……+a1 a1x1+a2x2+…+a2nxn=0 (6) ax,+am,x 必有非零解。 x1+2x,+Ax2=2 例5问λ取何值时,方程组{2x+4x2+6x=4 Ax;+6x,+9x3=6 (1)无解;(2)有唯一解;(3)有无穷多解 解:将增广矩阵化为上阶梯形 B=(4B/22,2/2) A64 0--46-240 696 4 (2+63-4)2(3 讨论:1.当λ=-6时,R(A)(R(B),故方程组无解。 2.当λ≠-6,λ≠3时,R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解: 1+6+6 +6

           = = = + = + + = + 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1 1      r rr r rn n r r r n n d c x c x d c x c x c x d （5） 由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以 R（A）=R（C），R（B）=R（D）。 （ⅰ）必要性 若方程组（4）有解，则方程组（5）也有解，故 dr+1=0， 这时 R（D）=R（C），从而 R（A）=R（B）。 （ⅱ）充分性 若 R（A）=R（B），于是 R（C）=R（D）因而 dr+1=0，所以 方程组（5）有解，从而方程组（4）有解。 证毕 定理 2 若方程组（4）的系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩相等，且等于 r， R（A）=R（B）=r，则 （ⅰ）当 r=n 时，（4）有唯一解； （ⅱ）当 r<n 时，（4）有无穷多解。 推 论 当 m<n 时，齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     （6） 必有非零解。 例 5 问λ取何值时，方程组        + + = + + = + + = 6 9 6 6 4 3 4 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    （1）无解 ； （2） 有唯一解 ； （3） 有无穷多解 解： 将增广矩阵化为上阶梯形 B= ( ) A B1 =             6 9 6 6 4 3 4 2 1 2 2    ⎯r⎯2 −2⎯r1 ,r3 −⎯r1→             − − − − −       0 6 2 9 6 2 4 6 2 0 3 4 0 1 2 2 2 ⎯⎯⎯⎯→ − − 3− 2 4 3 4 6 2 r r   ( )( ) ( )             + − − − −       0 0 6 3 2 3 4 6 2 0 3 4 0 1 2 2 讨论：1.当λ=-6 时，R（A）〈R（B），故方程组无解。 2.当λ≠-6，λ≠3 时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解： x3= 6 2  + , x2= 6 3  + , x1= 6 6  +

3.当λ=3时,R(A)=R(B)=1,有无穷多解: x1+2x2+3x3=2,即x1=2-2x2-3x3(其中x2,x3为自由未知量) x1+2x2+ 例6讨论a,b取何值时,方程组!x+x2+2x3+3x1=1 3x1-x2 x +b (i)有唯一解;(ⅱ)无解;(ⅲi)有无穷多解,有解时求出其解 解:对增广矩阵B进行初等行变换 40 3 23-1b-6 0-1-7b+2 123 0-1-140 00-3-27a-3 00-6b-2-8 00-3 讨论:(i)当b+52≠0时,R(A)=R(B)=4=n,方程组有唯一解,其解为(回代) 2(a+1) 3,18(a+1) 326(a+1)a4(a+1) b+522,x2= 3b+5 3b+52 (ii)当b+52=0而a+1≠0时,R(A)=3,R(B)=4,无解 (ⅲi)当b+52=0,a+1=0时,R(A)=R(B)=3(4,方程组有无穷多组解 这时,再对B进行初等行变换,得 0 000 00 010 000 100 0-1-%3

3.当λ=3 时，R（A）=R（B）=1，有无穷多解： x1 + 2x2 + 3x3 = 2 ,即 1 2 2 2 3 3 x = − x − x （其中 2 3 x , x 为自由未知量） 例 6 讨论 a,b 取何值时，方程组        + − + = − − − − = + + + = + + − = 2 3 6 3 2 2 3 1 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x bx x x x x a x x x x x x x x （ⅰ）有唯一解；（ⅱ）无解； （ⅲ）有无穷多解，有解时求出其解。 解： 对增广矩阵 B 进行初等行变换 B=               − − − − − − 6 1 1 2 3 1 1 1 2 3 3 1 1 2 2 3 1 1 a b ⎯r⎯2 −r1⎯,r3−⎯3r3 ,r⎯4 −⎯2r1→               − − + − − − − − − − 0 1 7 2 8 0 7 10 1 3 0 1 1 4 0 1 2 3 1 1 b a ⎯r⎯3 −7⎯r2 ,r4⎯−r2→               − − − − − − − − − 8 3 0 1 2 27 4 1 6 3 1 3 0 0 1 2 0 0 0 1 a b ⎯r⎯4 −⎯2r3→               − − − + − − − − − 2 2 3 0 1 52 27 4 1 0 3 1 3 0 0 1 2 0 0 0 1 a a b = B 讨论：(ⅰ)当 b+52≠0 时，R（A）=R（B）=4=n,方程组有唯一解，其解为（回代） x4=- ( ) 52 2 1 + + b a ,x3=- ( ) ( ) ( ) 52 4 1 3 , 52 26 1 3 3 , 52 18 1 3 3 2 1 + + = − + + − − = + + + − b a a x b a a x b a a (ⅱ)当 b+52=0 而 a+1≠0 时，R（A）=3，R（B）=4，无解 （ⅲ）当 b+52=0，a+1=0 时，R（A）=R（B）=3〈4，方程组有无穷多组解 这时，再对 B 进行初等行变换，得 B =               − − − − − − 0 4 0 1 0 27 4 1 0 3 1 3 0 0 1 2 0 0 0 1 ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→       + −  − 3 1 , 3 1 , 1 3 2 3 3 r r r r r               − − − 0 3 4 3 4 3 0 9 13 28 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 ⎯r⎯1+2⎯r2 ,r2⎯(⎯−1)→               − − − − 0 3 4 3 4 3 1 0 9 13 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1