函数和关系虽然都是刻画关于两个集合元之间的联 系的,但是有区别的。 函数的定义域是某个集合的整体,而不能是这个集 合的一部分,而关系则不然; 在函数的定义中,对于任意给的x∈X,则存在唯 的y与之对应,而在关系的定义中,却可以有多于 个的元与之对应,所以说函数是一种特殊的关系。 “关系说”将函数用集合论的语言加以描述,除集 合论的概念以外,没有使用其他未经定义的日常语言, 因而是完全数学化的定义。 这种定义是函数的形式化定义。 2021/1/28
2021/1/28 函数的定义域是某个集合的整体，而不能是这个集 合的一部分，而关系则不然； 在函数的定义中，对于任意给的x ∈ X，则存在唯 一的y与之对应，而在关系的定义中，却可以有多于一 个的元与之对应，所以说函数是一种特殊的关系。 “关系说”将函数用集合论的语言加以描述，除集 合论的概念以外，没有使用其他未经定义的日常语言， 因而是完全数学化的定义。 函数和关系虽然都是刻画关于两个集合元之间的联 系的，但是有区别的。 这种定义是函数的形式化定义
但是,关系说过于形式化、抽去了函数关系生动 的直观特征,看不出对应关系的形式,更没有解析式 的表达,所以初学者不易掌握,当然也不适合放在中 学的教材中。 个函数定义,各有各的不同特点。“变量说”最 朴素、最根本,也是最重要的,初学者更容易接受。 “对应说”形式化的程度较高,对于研究函数的精 细性质具有一定的优势。 “关系说”形式化的程度更高,在计算机科学中、 人工智能设计中具有一定的作用。 2021/1/28
2021/1/28 三个函数定义，各有各的不同特点。“变量说”最 朴素、最根本，也是最重要的，初学者更容易接受。 “对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精 细性质具有一定的优势。 但是，关系说过于形式化、抽去了函数关系生动 的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式 的表达，所以初学者不易掌握，当然也不适合放在中 学的教材中。 “关系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、 人工智能设计中具有一定的作用
第三节初等函数 中学所学习的主要初等函数有:常量函数、幂函数、 指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。 这些初等函数称为基本初等函数。基本函数的一个 重要特点是它能通过一个统一的代数式是在定义域上 表达出来。 、初等函数的定义 定义1(初等函数)由基本初等函数经过有限次的 代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做初等 函数。 y=×不是初等函数。 初等函数可以根据函数解析式所用的运算种类来进 行分类。 2021/1/28
2021/1/28 中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、 指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。 这些初等函数称为基本初等函数。基本函数的一个 重要特点是它能通过一个统一的代数式是在定义域上 表达出来。 定义1（初等函数） 由基本初等函数经过有限次的 代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做初等 函数。 第三节 初等函数 y=[x]不是初等函数。 一、初等函数的定义 初等函数可以根据函数解析式所用的运算种类来进 行分类
定义2如果一个函数使用基本初等函数经过有限次 代数运算(加、减、乘、除、乘方、开方)所得到的初 等函数,则叫做代数函数。 不是代数函数的初等函数叫做超越函数 8(x)82(x) 代数函数又可以分为有理函数和无理函数: 由和经过有限次加、减、乘、除四则运算所得到的 代数函数叫做有理函数; 不是有理函数的代数函数叫做无理函数。 021/1/28
1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g x g x = 2021/1/28 不是代数函数的初等函数叫做超越函数。 代数函数又可以分为有理函数和无理函数： 定义2 如果一个函数使用基本初等函数经过有限次 代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初 等函数，则叫做代数函数。 由和经过有限次加、减、乘、除四则运算所得到的 代数函数叫做有理函数； 不是有理函数的代数函数叫做无理函数
有理函数中,如果仅用到加、减、乘运算所得到的 函数叫做有理整函数, 非有理整函数(用了除法)的有理函数叫做有理分 式函数。 有理整函数 有理函数 代数函数 有理分函数 初等函数 无理函数 超越函数 021/1/28
2021/1/28 非有理整函数（用了除法）的有理函数叫做有理分 式函数。 有理函数中，如果仅用到加、减、乘运算所得到的 函数叫做有理整函数， 有理整函数 有理函数 代数函数 有理分函数 初等函数 无理函数 超越函数