求X的分布函数：(2)求PX≤，P<X≤，P2≤X≤) 2、设随机变量X的分布律为 x-101 P0.20.30.5 求y=2X2+1及Z=3X+1的分布律。 3、设随机变量X的概率密度函数为f(x)= kF0≤x≤1 0其它 U落数：(2)求x的分布国致F:(3)求Px>号} 4设随机变量X服从1=的指数分布，名的概率密度高数为)=e关x0 0x≤0 求：（1)EX,DX(2油)求c及EX2: 其它 中事件{X≤分}台现的次数，发PV=2) 6、设X是[0,1]上的连续型随机变量，P(X≤0.29)=0.75，Y=1-X,试决定y, 使PY≤y)=025. 7、某由力排灌站。一天内停电的概率为01（设若停由，全天不能工作）。若4天内全不 停电，可获得利润6万元，如果停电 次可获利3万元：如果有两次停电，则获利0万元： 若有三次或三次以上停电，要亏损1万元。求4天内期望利润是多少？ 8、随机变量X,Y都在区间[1,3]上服从均匀分布，且X确定的事件与由Y所确定的 事件是相互独立的，若A={X≤aB=>a。 （1D已知4+-求数a:(2)求的数学期里。 9、假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(4,),内径小于10 或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售不合格亏损。已知销 -1X<10 售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有以下关系：T={2010≤X≤12，问：平 -5X>12 均内径“取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
求Ｘ的分布函数；（２）求 ) 2 1 P(X ， ) 2 5 2 1 P( X ， P(2 X 3) ２、设随机变量Ｘ的分布律为 求 2 1 3 1 2 y = X + 及Z = X + 的分布律。 ３、设随机变量Ｘ的概率密度函数为 = 0 其它 0 1 ( ) k x x f x (1)常数 k ；（２）求Ｘ的分布函数 F(x) ；（３）求 4 1 P X ４、设随机变量 2 1 X1服从 = 的指数分布， X2 的概率密度函数为 = − 0 0 0 ( ) 2 x cxe x f x x 求：（１） 1 1 2 EX ,DX ;(2)由(1)求c及EX . ５、设随机变量Ｘ的密度函数为 = 0 其它 3 0 1 ( ) 2 x x f x ，用Ｙ表示Ｘ的３次独立重复观察 中事件 2 1 X 出现的次数，求 P(Y = 2) ６、设Ｘ是［０，１］上的连续型随机变量， P(X 0.29) = 0.75,Y = 1− X ，试决定 y ， 使 P(Y y) = 0.25 。 ７、某电力排灌站，一天内停电的概率为 0.1 （设若停电，全天不能工作），若４天内全不 停电，可获得利润６万元，如果停电一次可获利３万元；如果有两次停电，则获利０万元； 若有三次或三次以上停电，要亏损１万元。求４天内期望利润是多少？ ８、随机变量Ｘ，Ｙ都在区间［１，３］上服从均匀分布，且Ｘ确定的事件与由Ｙ所确定的 事件是相互独立的，若 A = X a,B = Y a。 （１）已知 9 7 P(A + B) = ；求常数 a ；（２）求 X 1 的数学期望。 ９、假设由自动线加工的某种零件的内径Ｘ（毫米）服从正态分布 N(,1) ，内径小于１０ 或大于１２的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售不合格亏损。已知销 售利润Ｔ（单位：元）与销售零件的内径Ｘ有以下关系： − − = 5 12 20 10 12 1 10 X X X T ，问：平 均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ X －１ ０ 1 P ０.2 0.3 0.5
10、假设测量误差X~N(0,10),试求在100次独立测量中，至少有3次测量误差的 绝对值大于19.6的概率a,并利用泊松分布求出α的近似值。 四、证明 1、设常数a与b为随机变量X的一切可能取值中的最小值与最大值，EX,DX分别为X 2、已知随机变量X的数学期望EX与方差DX都存在，且DX≠0，随机变量 Y=X-ED成·证明：EY=0DY=0 3、设X的概奉密度fx)满足f(c+x)=fc-x,x∈(-o,+o),其中c为常数，又 们(x)dk收敛，证明：EX=c 4、设随机变量X服从参数=2的指数分布。：证明：y=1-e2在区间(0,1)上服 从均匀分布。 第三章 随机向量 基本要求 1.了解二维随机向量的联合分布与边缘分布的概念。 2.已知联合分布会求边缘分布，会判断随机变量的独立性。 3。了解协方差、相关系数等概念，掌握协方差、相关系数的求法。 4.掌握二维正态分布的密度函数，并知道几个参数的意义。 5。会叙述中心极限定理，并会用来解较简单的实际问题。 同步练习 一、填空 x1Y012 1、设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为00.2504 1b0.30.15 则a.b应满足的条件是」 2、设二维随机向量(X,)的联合概率概率密度八,)=0 c-1≤x≤l,0≤y≤2 则 其它 = 一，Y的边缘密度函数为f(y)=】
１０、假设测量误差 X ~ (0,10 ) 2 N ，试求在１００次独立测量中，至少有３次测量误差的 绝对值大于 19.6 的概率 ，并利用泊松分布求出 的近似值。 四、证明 １、设常数 a与b 为随机变量Ｘ的一切可能取值中的最小值与最大值，ＥＸ，ＤX 分别为Ｘ 的数学期望与方差。证明：（１） 2 2 ;(2) − b a a EX b DX 。 ２、已知随机变量Ｘ的数学期望ＥＸ与方差ＤＸ都存在，且 DX 0 ，随机变量 DX Y = X − EX ，证明： EY = 0, DY = 0 ３、设Ｘ的概率密度 f (x) 满足 f (c + x) = f (c − x), x (−,+) ，其中 c 为常数，又 x f (x)dx + − 收敛，证明： EX = c 。 ４、设随机变量Ｘ服从参数 = 2 的指数分布。；证明： x Y e 2 1 − = − 在区间（０，１）上服 从均匀分布。 第三章 随机向量 基本要求 1. 了解二维随机向量的联合分布与边缘分布的概念。 2. 已知联合分布会求边缘分布，会判断随机变量的独立性。 3. 了解协方差、相关系数等概念，掌握协方差、相关系数的求法。 4. 掌握二维正态分布的密度函数，并知道几个参数的意义。 5. 会叙述中心极限定理，并会用来解较简单的实际问题。 同步练习 一、填空 1、设二维离散型随机变量（X，Y）的分布列为 1 0.3 0.15 0 0.25 0 \ 0 1 2 b a X Y 则 a.b 应满足的条件是 。 2、设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率概率密度 − = 0 其它 1 1,0 2 ( , ) c x y f x y ，则 c = ，Y 的边缘密度函数为 f Y (y) =
3、设(X,Y)~N(4,山，o,2,o,2,P),则随机变量X的边缘密度函数为∫x(x)=一 Y-.cov(X,Y)= 4、(X,Y)是二维随机向量，且DX)=25，D(Y)=36,P灯=0.6，则 D(X-2Y)= 5、X、Y是两个相互独立的随机变量，且方差均存在，则D(3X-2Y)= X1Y|01 6、设二维随机变量(X,Y)的概率分布为00.4a,若随机事件{X=0}与 1b0.1 {X+y=相互独立，则a= b= 7、设随机变量X、了相互独立，且分别服从于参数为入和乙，的泊松分布，则X、Y的联 合分布律为PX=mY=n}=_ 8、已知随机变量X~N(-1,),Y~N(3,),且X、Y相互独立，Z=X-2Y, 则Z~ 9、设X,X2,Xn独立同分布，E(X,)=4,DX)=o2,i=1,2,n,当n≥30时， 随机变量X=∑X,近似服从分布 ,标准化后的随机变量 近似服从 N(0,1)分布。 10、设(X,Y)服从区间0，a×[0,ad上的均匀分布，则EX-I=。 二、单项选择 1、若X、Y满足D(X-Y)=D(X+),则必有() A、X、Y相互独立B、D(X-)=DX+Y)=0C、X、Y不相关D、DX)=0 2、二维随机变量(X,Y满足E(XY=EX.EY,则() A、D(XY=DX.DY B、DX-Y)=D(X+Y)C、X与Y独立D、X与Y不独立 3、已知随机变量X、Y,则()是正确的。 A、D(XY)=DXDY B、D(X+Y)=D(X)+DY)
3、设 (X,Y) ~ ( , , , , ) 2 2 2 N 1 2 1 ，则随机变量 X 的边缘密度函数为 f X (x) = ， Y~ ， cov (X,Y) = 。 4 、 (X,Y) 是二维随机向量，且 D(X ) = 25 ， D(Y) = 36 ， XY = 0.6 ， 则 D(X − 2Y) = 。 5、 X 、Y 是两个相互独立的随机变量，且方差均存在，则 D(3X − 2Y ) = 。 6、设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为 1 0.1 0 0.4 \ 0 1 b a X Y ，若随机事件 X = 0 与 X +Y =1 相互独立，则 a = ，b = 。 7、设随机变量 X 、Y 相互独立，且分别服从于参数为 1 和 2 的泊松分布，则 X 、Y 的联 合分布律为 PX = m,Y = n= 。 8、已知随机变量 X ~ N(−1,1)，Y ~ N(3,1) ，且 X 、Y 相互独立， Z = X − 2Y ， 则 Z ~ 。 9、设 X X Xn , , , 1 2 独立同分布， E(Xi ) = ， 2 D(Xi ) = ，i = 1,2, ,n ，当 n 30 时， 随机变量 = = n i X Xi 1 近似服从分布 ，标准化后的随机变量 近似服从 N(0,1) 分布。 10、设 (X,Y) 服从区间 0,a0,a 上的均匀分布，则 E X −Y = 。 二、单项选择 1、若 X 、Y 满足 D(X −Y) = D(X +Y) ，则必有（ ） A、X 、Y 相互独立 B、D(X −Y) = D(X +Y) =0 C、X 、Y 不相关 D、D(X ) = 0 2、二维随机变量 (X,Y) 满足 E(XY) = EX.EY ，则（ ） A、 D(XY) = DX.DY B、 D(X −Y) = D(X + Y) C、 X 与 Y 独立 D、 X 与 Y 不独立 3、已知随机变量 X 、Y ，则（ ）是正确的。 A、 D(XY) = DX.DY B、 D(X + Y) = D(X ) + D(Y)
C、E(XY=EX.EY D、E(X+Y)=E(X)+EY) 4、设X、Y是两个随机变量，则下列命题正确的是() A、X、y不相关三X、y不相互独立B、X、y相互独立三X、Y不相关 C、X、y不相关一X、y相互独立D、X、y相关一X、Y相互独立 5设随机变量X、y独立同分布，PX=-=化=-以=；PK==化=少-) 则下列式子正确的是( AX=yB、PK==0C、P=}=;D.PK=y=I 6、设F(x)与E(x)分别为随机变量X和Y的分布函数，为使aF(x)-bE(x)是某一随 机变量的分布函数，则a,b的值应取() 7、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面朝上和反面朝上的次数，则X,Y的相关系 数等于() -1c0 8、设随机变量X服从参数为元的指数分布，且已知E[(X-I(x+2)】=-1,则DX= () A、3B、-1C、2D、3 9、随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X~N(L,1),Y~N(2,4),X和】 的相关系数为Pm=-0.5,且概率PaX+bys=7,则(） A、a=b=- 1发强分方-（化名动小c-a.且民P化-0明-1园 P{X=X2}=( A0B4C、3D1 三、计算
C、 E(XY) = EX.EY D、 E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) 4、设 X 、Y 是两个随机变量，则下列命题正确的是（ ） A、 X 、Y 不相关 X 、Y 不相互独立 B、 X 、Y 相互独立 X 、Y 不相关 C、 X 、Y 不相关 X 、Y 相互独立 D、 X 、Y 相关 X 、Y 相互独立 5、设随机变量 X 、Y 独立同分布， 2 1 P X = −1 = Y = −1 = ， 2 1 P X = 1 = Y = 1 = ， 则下列式子正确的是（ ） A、 X = Y B、 PX = Y= 0 C、 2 1 P X = Y = D、 PX = Y=1 6、设 ( ) 1 F x 与 ( ) 2 F x 分别为随机变量 X 和 Y 的分布函数，为使 a ( ) 1 F x ( ) 2 −bF x 是某一随 机变量的分布函数，则 a,b 的值应取（ ） A、 5 2 , 5 3 a = b = − B、 3 2 , 3 2 a = b = C、 2 3 , 2 1 a = − b = D、 2 3 , 2 1 a = b = − 7、将一枚硬币重复掷 n 次，以 X Y 和 表示正面朝上和反面朝上的次数，则 X Y, 的相关系 数等于（ ） A、1 B、－１ C、0 D、 1 2 8、设随机变量Ｘ服从参数为 的指数分布，且已知 E X x ( 1)( 2) 1 − + = − ，则 DX ＝ （ ） Ａ、 1 2 Ｂ、－１ Ｃ、２ Ｄ、３ ９、随机变量 (X ,Y ) 服从二维正态分布，其边缘分布为 X ~N(1,1) ，Y ~ N(2,4) ，X Y 和 的相关系数为 0.5 XY = − ，且概率 1 1 2 P aX bY + = ，则（ ） Ａ、 1 1 , 2 4 a b = = − Ｂ、 1 1 , 4 2 a b = = − Ｃ、 1 1 , 4 2 a b = − = Ｄ、 1 1 , 2 4 a b = = １０、设随机变量的分布为 1 1 1 4 2 4 1 0 1 Xi ~ − ( 1,2) i = ，且满足 P X X 1 2 = = 0 1 ，则 P X X 1 2 = ＝（ ） Ａ、０ Ｂ、 1 4 Ｃ、 1 2 Ｄ、１ 三、计算