西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY(f(x) = f(xo)+ f'(x)(x -xo.2!("(0) (x- x0)"+ R,(x),(1)n!"xp,(x) = f(x)+ f'(x)(x -xo)2!n!称为f(x)在xo处(按x一xo的幂展开)的n次近似(泰勒)多项式R,(x)=o((x-xo)")称为佩亚诺余项(1)称为函数f(x)在x处(按 x 一 xo的幂展开)的带有佩亚诺余项的n阶泰勒展式
泰勒公式 ( ) (( ) ) 0 称为佩亚诺余项. n R x o x x n = − 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + 2 ! f x f x f x f x x x x x = + − + − ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ), ! n n n f x x x R x n − + ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2! ! n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n = + − + − + + − 称为 f x( ) 在 x0 处(按 x x − 0 的幂展开)的 n 次 n 近似(泰勒)多项式 (1) (1)称为函数 f x( ) 在 x0 处(按 x x − 0 的幂展开)的带有佩亚诺余项 的 n 阶泰勒展式
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY泰勒中值定理2如果函数f(x)在x的某个邻域U(x)内具有(n+l)阶导数，那么对任一xe U(x),有x.f(x)= f(x)+ f(x)(x-xo.-2!f(n (xo)(x -xo)" + R,(x),n!(n+)(E)其中 R,(x)一x)n+l,这里≤是x与 x之间的某个值(n+1)!
泰勒公式 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! f x f x f x f x x x x x = + − + − + + ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ), ! n n n f x x x R x n − + 泰勒中值定理2 如果函数 f x( ) 在 x0 的某个邻域 U( ) x0 内 具有 ( 1) n + 阶导数，那么对任一 x x U( ), 0 有 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) , ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + 其中 这里 是 x0 与 x 之间的某个值
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITYf"(xo)f(x)= f(x)+ f(x)(x-x)-(x-x)? +...+2!(n)(xo(2)-xo)" + R,(x),n!R,(x) :(x-x）+l称为拉格朗日余项(n +1)!(2)称为函数f(x)在xo处(按x 一xo的幂展开)的带有拉格朗日余项的n阶泰勒展式
泰勒公式 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! f x f x f x f x x x x x = + − + − + + ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ), ! n n n f x x x R x n − + (2) ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + 称为拉格朗日余项. (2)称为函数 f x( ) 在 x0 处(按 x x − 0 的幂展开)的带有拉格朗日余项 的 n 阶泰勒展式
西安毛子科技大学泰勒公式XIDIAN UNIVERSITY特例：当n=0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式f(x)= f(x)+f'(E)(x-xo)(在 x与x之间)如果对某个固定的n，当 x εU(x)时，1 f(n+)(x)< M.则有估计式MnXn+R,(x)(n + 1)!(n + 1)!
拉格朗日中值公式 泰勒公式 特例: 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f x( ) = 0 f x( ) 0 + − f x x ( )( ) 如果对某个固定的 n, 当 x x U( )0 时, ( 1) | ( ) | . n f x M + 则有估计式 ( 1) 1 0 ( ) ( ) = ( ) ( 1)! n n n f R x x x n + + − + 1 0 ( 1)! M n x x n + − + ( 在 x0 与 x 之间)