(i)由上可见，对数函数的多值性表现在函数值w的虚部 ”与自变量z的辐角的对应关系上，对于每一个2值，有无穷多 个w值，这些不同的w值只是虚部不 同而已，相差为2π的整数倍，即 0n(2)=1n{z+(0+2nπ)，其支 点是之=0，而且是无限阶支点 (iii)里曼面如图1-5所示，它 有无穷多叶，在第一叶上从之二0到 2=∞作切割，每一叶的切割下岸 连接于下一叶的上岸（2=∞亦为 无限阶支点)· (4)1n(2-a). 解：除了以z=a代替上题中的 1图1-5 z=0以外，其它的分析完全和上题相同， §4.导数（微商) 试推导极坐标系中的科希-里曼方程 8片 88 解一：从直角坐标系中的科希-里曼方程 8v 8. 8 出发，按照变换公式：p=x+和g=arctg(),即 元
x=Pcose和y=psing变换到极坐标.计算如下： 从变换公式可得 2x 8x 2+y= p cosp 8p 2y () 1+(∑=g, -v 8x ay 1+(》F p 又 Ou Ou-Ou Op Ou op a 6p 8部-808那+08-sine80+分cos080 把以上四式代入直角坐标系中的科希-里曼方程得 cosp (1) co8+iae8 p· (2) (1)式×sin9-(2)式×cos年给出 21
(3) (1)式×cosp+(2)式×sinP给出： 0u-18u 8p=pog· (4) (3)与(4)即为极坐标系中的科希-甲曼方程， 解二：从定义出发进行推导. w=4(z)+iu(2)=4(p,p)+iu(p,Ψ)， 在极坐标系中，先令Az沿径向逼近零，即z=e才p-→0， 则 架把照 =m。 p -(+8肥）) 再令z沿横向逼近零，即z=Pd(e")=ipe1"A四→0，则 热行典架架. 合。"玛 (80+0） =(g0-合0). 如果函数w(2)在点可导，则上述二极限必须都存在而且 彼此相等，即 (0*i80)e(合吾)。" 22
比较上式中的实部和虚部即得 $5.解析函数 1,某个区域上的解析函数如为实函数，试证它必为常数。 解：设这个解析函数为w(z)=u(x,y)+切(x,y),因为它 是实数，所以(x,y)三0；因为它是解析函数，所以它满足科 希-里曼方程 注意到(x,y)三0，则 800, (1) 0y0. (2) 由(1)知u=f:(y)、由(2)知u=f2(x)；因为x、y在该区 域中皆为独立变数，要f(y)=f2(x)=4,则只有f1(y)= f2(x)=常数，即u必为常数，亦即该解析函数必为常数。 2.已知解析函数f(z)的实部u(x,y)或虚部u(x,y),求该 解析函数. (1)u=e'siny. 解-，8肥-e'iny,.一8-e'co.根据科希里 曼方程，则 23
8=6iny,80-ocos.于是 dodddin =d(-e'cosy). 所以 (x,y)=-e'cosy+C. f(z)=e*siny+i(-e'cosy+C) =ie*(cosy+isiny)+iC=-ie*.e+iC =-ie++iC=-ie'+iC. 解二：因为 Ov Ox=-e'cosy, (1) Ov ay=e'siny. (2) 所以，由(1)式，暂且把y当作参数，对x积分， ()ccozydx-ecosy(3) 把(3)式对y求偏导数， y=e'siny+() (4) 比较(2)式和(4)式得p(y)=0,即p(y)=C.所以 v(x,y)=-e'cosy+C, f(z)=e*siny+i(-e'cosy+C)=-ie'icC. 必须指出：下面各题都可用这两种方法求解，限于篇幅， 我们将只任给出一种. (2)n=e'(xcosy-ysiny),f(0)=0, 解：O4 x=e (xcosy+cosy-ysiny)=v -0u=e(xsiny+siny中'cosy)=和 24