解：cosa+i0=2ea+ct)） (cosaisi)cosa -isina)〕 (ete)cosa+i(e-e)sina). (3)1n(-1). 解-：1n(-1)=1n-1|+iarg(-1)=i(2n+1)r: 解二：1n(-1)=lnei(x+2nx)=lne(2a+1) =i(2n+1)π（n=0,±1，.). (4)ch22-sh22. 解：ch2-5h2=e+2+e2-e2“-2+e: =1. 4 4 (5)cosix. 解：c06ix=e41”+e1i。e'+e 2 2 =chx, (6)sinix. 解：sinx=e1’e11=e-0二 2i 2 =ishx. (7)chix. 解：chix=e+e 2 -COsx. (8)shix. 解：shfx=e“-e1」 2—=isinx. (9)Ie1-1. 解：因sinz=sin(x+iy) 75
)sinx+i(e-e)cos) 所以 原式=eia(x+iy）-i6e"+e)sinx+ie-e)cosx eay fax-eeia()c eaeeoen =ecoeay+bhy cosx 3.求解方程sinz=2. 解-：照方粒脚动e“-。“=2,即e-。=4。 亦即 (e)2-4i(ci2)-1=0. 由一元二次代数方程的根的公式得 e=2i±/(2i)2+1=(2±J3)i, 于是 iz=1n(2±J3)i=1n(2±3)+lni =ln(2±J3)+1n(ei受+2n)) =ln(2±3)+(+2mr), 所以 :=im2±3)+（好+2mm刀 =受+2mx-la2±3). 因-1n(2主/3)=1n(2千J3),故上式又可表为 16
号+2r+ia2手3. 解=：sin2={(e+e)sinx+e+e)co-2, 比较等式两边的实部和虚部得 (e'+e-)sinx=4, （1) (e"+e-")cosx=0. （2) 在(2)式中，如果e-e·=0,则y=0,以y=0代入(1)式中 则得出sinx=2的错误结果，所以y不能为零，即e”-e·牛0. 只有cosx=0,即 ,x=+nx(i=0,1,2,.). 2 個以x=(2k+1)π+2代入(1)式，则得-(e'+e)=4, 显然是不合理的。必氛在x=受+m:的解中合去×=(2h+1) x+号的部分解：只保留x=(2+)x的部分解，以x= (+.代入a式积 e"+e"=4, 即 (e)2-4e'+1=0, 由此解出 e'=2±J3, 即 y=1n(2±/3)， 所以 2=(2+)+m2±3). >
S3。多值函数 指出下列多值函数的支点及其阶，并作出里曼面。 (1)J2-a. 解：(i)根式w=J2-a的定义是w2=z-a,今用指数式 表示出w=pe1",2-a=re9(r、p≥0).以此代入w2=2-a中 得pe2=re1,所以p=r,ee=e,=rei受，即 Sp=Jr, 29=0+2n元，(n=0,±1，±2，.)， 由此可见，w的模与z~α的模r的对应关系是唯一确定的，但辐 角不是如此，而是对应于每一个值，有两个不同的P值，如： =号a=0,9=号+a=10.相应的w值是：，- JFe号，=Fe号+)。-Fe,其它m值给出 的只是这两个w值的重复， (ii)对于w=J2-a来说，a点具有这样的特性，而z绕 ā点转一圈回到原处时，相应的函数值w不还原，改变了正负 号；而当2不绕a点转一圈回到原处时，函数值还原，所以a 点是该多值函数的支点.当2绕α点转两圈回到原处时，对应 的函数值还原，所以α点是该多值函数的一阶支点. GD如令：子则咖=哥：当整-0嘴一回 到原处时，四值不能还原；绕两圈回到原处时，w值还原，所 以2=也是一阶支点. 18
作出里曼面如图1-3. (2)J(2-a)(2-6」 Z=a 解：(i)如令2-a=rei81, 之-b=r2ei9:,w=Pee,则 w=/(2-a)(2-b） T: 图1-3*4 ∫p=rr:, 2p=01+02+2nπ(r=0,±1，±2.）， (ii)同上题分析，之=c和2= b是多值函数w的一阶支点. (iii)里曼面有两叶，在T:上 从之=a到z=b作切割，T:的切割下 岸连结于T2的上岸，T2的下岸连结 于T的上岸.事实上，沿着不包围 点a和b的闭路1环行一周，辐角0： 图1-4 和02又返回原来的值.沿着包围两个点α和b的闭路2环行一周， 此二箱角各增加2π，所以，0，+0，)也增加2π，而函数值w还 原.如果在同一叶上沿着只包围α点（或b点）的闭路3环行一 周，函数值w并不还原，所作切脚就是为了截断此种闭路。 (3)Inz 解：(i)对数函数w=1nz的定义是：c"=之，令=4+iu 和z=re代入上式得e·e"=re'9,比较两边的模和辐角得 e"=r,即a=Inr=lnz, 0=arg2=0+2nπ(n=0,±1，±2，.). 19