解一：从初等代数知道，n项的等比级数x+x2+.+x” 的和为 现在所求为 cosp+cos2+cos3+.+cosno +i (sing+sin20+sin3+.+sinnp) =(cosp+isinp)+(cos2p+isin2p)+. +(cosnp +isinn) =eip+e2ie+.+eip =ele 1-eiso 1-e1m 。e1-g10)q-e9) (1-ei)(1-e) =(e'-1)(1-el) 2 -2cosg (eisha-e)(eie 4sin号 e(2isin罗）e(-2isin空） 4sim号 e1sia空 sin2 sin(cos+ingp） 2 sin号 比较等式两边的实部和虚部得 10
cosp+c0s2p+cos3Ψ+.+cosn9 2 如(》-a 号n学n sin+sin20+sin3+.+sinn 2 aigo管-a(s+b =-1r 解二：cosp+cos2p+.+cosnp+ising+isin2p +.+isinnp (cosp +isinp)+(cos20+isin20)+. +(cosnp +isinnp) (cosp +isin)+(coso+ising)2+. +(coso +isin)" -(cos+isin)C1-(cosp+isin) 1-(cosp+ising) (cosp +isin)[(1-cosno)-isinno] ·〔(1-cosp)+isin] [(1-cosp)-isin][(1-cos9) +isin 4sin2 sin p 2-cosp -sia警sip 11
+2ia:骨inine+ia9tos9siap】 +i〔sin号siag 2 sinp +2sin20迎sinpcos 2 -2sin:号ossinsn+siaosinej} ga(》n +ifcos-cos(n+))esin) =-sin(a+)e-sim】 +(cosg-eos(m+)p〕}. 比较等式两边的实部和虚部也得到解①中的答案· §2.复变函数 1.试验证(2.11)一(2.14)儿个式子. (1)(2,11)式：sin(2+2π)=sinz,c0s(g+2π） =c052 整运：sine+20）安(e-。1.〕 e-）-si 12
由此可见，三角函数有实周期2π· (2)(2.12)式： sin2=2√(e+e）+(2siax-cosx). 0这：因sin2=(e-。)=- 1 2(e11 -ei(*1) 1 =- 2-(e-'e-eleir) =-〔e'(eosx+isin)) -e'(cos.x-sinx) sinxtie 所以sin2信+e可sinx+e-os =号ie+e)+2sinx-cos0. (3)(2.13)式： lco+2c) 验证一：其步骤全同于（2)· 验证二由c0s2=sin(侣-2)再利用(2)的答案， 则icosz-sia(经-e)月 13
=2ea+e")+2sia(g-x）-cos(侵-刀 =号@+em)+2cosx-sim可。 (4)(2,14)式：e2*3m'-e,sh(2+2元)=sh2, ch (2+2ni)=chz. 验证：e+2*1=e2e2=e2, sh(z+2)=e =2e-e)=sh2. ch(+2a)e e+e=ch2 显然，双曲函数有纯虚周期2π. 2.计算下列数值（a和b为实常数，×为实变数)， 1)sin(a+ib). 解：sinu+b)题2Ce+1-gt门 =〔+iaina)) -e+b(cosa-isina)〕 in+esina+(e'osa -ecosa)〕 =2Cet+e)siaa+ig-e)co3o. (2)cos(a+ib)