第二节 空间曲面的切平面
第二节 空间曲面的切平面
个钢球放在一块平整光滑的钢板上 平面 球面 相切
一个钢球放在一块平整光滑的钢板上 平面 球面 相切 ？
由前面讲过的解析几何知识可知 若已知曲面上点P(xny,=处切平面的 法向量为n=(A,B,C),则曲面在该点的切平 面方程为 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-20)=0 法线方程为 x-xo y-yo B
由前面讲过的解析几何知识可知: 面方程为 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 ( , , ) 0 0 0 若已知曲面上点 P x y z 处切平面的 法向量为 n = (A,B,C) , 则曲面在该点的切平 法线方程为 C z z B y y A x x0 0 − 0 = − = −
实际上,到现在为止我们还不知道 曲面的切平面的准确定义 下面对曲面及其上的曲线的关系进 行分析,看看有什么结果
行分析, 看看有什么结果. 下面对曲面及其上的曲线的关系进 实际上, 到现在为止我们还不知道 曲面的切平面的准确定义
设曲面的方程为F(x,y,z)=0,在曲面上 任取一条过点P的曲线L,设其方程为 x=x(),y=y(t),z=z(t), 此时有F(x(),y(t),(1)=0 设t=t对应于点P(x23y,=),则上式在t 处的全导数 Fx(x,y,20)x(t0)+Fy(x0,y0,20)y() 向量的数量积+F(xn,yo,z0)z(t)=0
设曲面的方程为 F(x, y,z) = 0 任取一条过点 P 的曲线 L，设其方程为 x = x(t), y = y(t) , z = z(t), 此时有 F(x(t), y(t),z(t)) 0 设 0 t = t 对应于点 ( , , ), 0 0 0 P x y z 则上式在 t0 处的全导数 Fx (x0 , y0 ,z0 )x (t 0 ) + ( , , ) ( ) 0 0 0 0 F x y z y t y ( , , ) ( ) 0 + Fz x0 y0 z0 z t 0 = , 在曲面上 向量的数量积