2019-2020学年人教版九年级数学上册212解一元二次方程同步学案 解一元二次方程直接开平方法 形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次 方程. 如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±√p 如果方程能化成(nx+m)=p(p≥0)的形式,那么nx+m=√P 注意:①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数. ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程 ③方法是根据平方根的意义开平方 例1.解方程:1(+2)2-6=0 【分析】先把给出的方程进行整理,再利用直接开方法求出解即可 【解答】解:六(y+2)2-6=0 (y+2)2= y+2=±2√3, /3 【点评】此题考査了解一元二次方程-直接开平方法,熟练掌握各种解法是解本题的关键. 二,解一元二次方程配方法 (1)将一元二次方程配成(x+m)=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元 次方程的方法叫配方法 (2)用配方法解一元二次方程的步骤: ①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式 ②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数; ⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个 负数,则判定此方程无实数解
2019-2020 学年人教版九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 同步学案 一．解一元二次方程-直接开平方法 形如 x 2 =p 或（nx+m）2 =p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次 方程． 如果方程化成 x 2 =p 的形式，那么可得 x=± p ； 如果方程能化成（nx+m）2 =p（p≥0）的形式，那么 nx+m=± p ． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 例 1．解方程： （y+2）2﹣6＝0 【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可． 【解答】解： （y+2）2﹣6＝0， （y+2）2＝12， y+2＝±2 ， y1＝2 ﹣2，y2＝﹣2 ﹣2． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 二．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2 =n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元 二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为 ax2 +bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个 负数，则判定此方程无实数解．
例2.解方程:x(x-2)=4. 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解:∵x(x-2)=4 x2-2x+1=5 ∴(x-1)2=5 ∴x=1± 【点评】本题考査一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题 三,解一元二次方程公式法 (1)把x=b士b2-4ac2a(b2-4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公 式 (2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法 (3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为 ①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号) ②求出b2-4ac的值(若b-4ac<0,方程无实数根); ③在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根 注意:用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:①a≠0;②b2-4ac≥0. 例3.解方程:-3x2+6x=1 【分析】移项后求出b2-4ac的值,再代入公式求出即可 【解答】解:-3x2+6x=1, b2-4ac=62-4X(-3)×(-1)=24 2×(-3) 3~63+√6 【点评】本题考査了解一元二次方程,能选择适当的方法解方程是解此题的关键 四.解一元二次方程因式分解法
例 2．解方程：x（x﹣2）＝4． 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：∵x（x﹣2）＝4， ∴x 2﹣2x＝4， ∴x 2﹣2x+1＝5， ∴（x﹣1）2＝5， ∴x＝1± 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题 型． 三．解一元二次方程-公式法 （1）把 x=-b±b2-4ac2a（b 2 -4ac≥0）叫做一元二次方程 ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公 式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定 a，b，c 的值（注意符号）； ②求出 b 2 -4ac 的值（若 b 2 -4ac＜0，方程无实数根）； ③在 b 2 -4ac≥0 的前提下，把 a、b、c 的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b 2 -4ac≥0． 例 3．解方程：﹣3x 2+6x＝1 【分析】移项后求出 b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：﹣3x 2+6x＝1， ﹣3x 2+6x﹣1＝0， b 2﹣4ac＝6 2﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝24， x＝ ， x1＝ ，x2＝ ． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键． 四．解一元二次方程-因式分解法
(1)因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次 方程最常用的方法 因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积 的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这 样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学 转化思想) (2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤 ①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个 因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原 方程的解 例4.解方程:x2-3x=-2 【分析】根据因式分解法即可求出答案 【解答】解:∵x2-3x+2=0, ∴(x-1)(x-2)=0 x=1或x=2 【点评】本题考査一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题 型 五,换元法解一元二次方程 l、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简 化,这叫换元法 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化, 变得容易处理 2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个 字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程 通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的 例5.解方程:(x-1)2-5(x-1)+4=0 【分析】设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得y的值,即可得到原方程的根
（1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次 方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积 的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这 样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学 转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个 因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原 方程的解． 例 4．解方程：x 2﹣3x＝﹣2 【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【解答】解：∵x 2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x＝1 或 x＝2； 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题 型． 五．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简 化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象， 将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化， 变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个 字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程 通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 例 5．解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 【分析】设 x﹣1＝y，则原方程可化为 y 2﹣5y+4＝0，解得 y 的值，即可得到原方程的根．
【解答】解:设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0 解得:y=1,n2=4 当y=1时,x-1=1,解得x=2 当y=4时,x-1=4,解得x=5, 原方程的根是x1=2,x2=5 【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程,解数学题时,把某个式子看 成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法 六.根的判别式 利用一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac)判断方程的根的情况 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系 ①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根; ②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根; ③当△<0时,方程无实数根 上面的结论反过来也成立 例6.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0,当b=a+3时,请判断此方程根的情况 【分析】先计算出判别式的值,再把b=a+3代入得到△=(a+3)2-12a=(a-3)2≥0,然后 根据判别式的意义判断方程根的情况. 【解答】解:△=b2-4a×3=b2-12a, 而b=a+3 所以△=(a+3)2-12a=(a-3)2≥0 所以方程有两个实数根 【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下 关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△ 0时,方程无实数根 七.根与系数的关系 (1)若二次项系数为1,常用以下关系:x,x是方程x2+px+q=0的两根时,x计+x=p, x1x=q,反过来可得p=-(x1+x),q=xx,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是 已知两根确定方程中未知系数
【解答】解：设 x﹣1＝y，则原方程可化为 y 2﹣5y+4＝0 解得：y1＝1，y2＝4 当 y＝1 时，x﹣1＝1，解得 x＝2， 当 y＝4 时，x﹣1＝4，解得 x＝5， ∴原方程的根是 x1＝2，x2＝5． 【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看 成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 六．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△=b2 -4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程 ax2 +bx+c=0（a≠0）的根与△=b2 -4ac 有如下关系： ①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0 时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 例 6．已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+3＝0，当 b＝a+3 时，请判断此方程根的情况． 【分析】先计算出判别式的值，再把 b＝a+3 代入得到△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，然后 根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：△＝b 2﹣4a×3＝b 2﹣12a， 而 b＝a+3， 所以△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0， 所以方程有两个实数根． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax 2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下 关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；当△ ＜0 时，方程无实数根． 七．根与系数的关系 （1）若二次项系数为 1，常用以下关系：x1，x2是方程 x 2 +px+q=0 的两根时，x1+x2=-p， x1x2=q，反过来可得 p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是 已知两根确定方程中未知系数．
(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:x,x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0) 的两根时,x+x=b,xx=≌,反过来也成立,即b=(x+x),C=x (3)常用根与系数的关系解决以下问题 ①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根, 求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x2+x2等等.④判断两 根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比 较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件 例7.已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2 (1)求实数m的取值范围; (2)若x1-x2=1,求实数m的值 【分析】(1)根据根的判别式得出不等式,求出不等式的解集即可 (2)先根据根与系数的关系求出x1+x2=2,x1·x2=m,再根据完全平方公式进行变形,最高代入 求出即可 【解答】解:(1)∵关于x的方程x2-2xm=0有两个不相等的实数根x1、n2, △=(-2)2-4×1Xm>0, 解得:m<1, 实数m的取值范围是m<1 (2)∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2 ∴由根与系数的关系得:x1+x2=2,x1x2=m, x1-x2 ∴两边平方得:(x1-x2)2=12, (x1+x2)2-4x1x2=1, 3 解得: 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系,能熟记知识点的内容是解此题的关键. 八,配方法的应用
（2）若二次项系数不为 1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程 ax2 +bx+c=0（a≠0） 的两根时，x1+x2=− a b ，x1x2= a c ，反过来也成立，即 a b =-（x1+x2）， a c =x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根， 求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x1 2 +x2 2等等．④判断两 根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比 较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑 a≠0，△≥0 这两个前提条件． 例 7．已知关于 x 的方程 x 2﹣2x+m＝0 有两个不相等的实数根 x1、x2 （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 x1﹣x2＝1，求实数 m 的值． 【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可； （2）先根据根与系数的关系求出 x1+x2＝2，x1•x2＝m，再根据完全平方公式进行变形，最高代入 求出即可． 【解答】解：（1）∵关于 x 的方程 x 2﹣2x+m＝0 有两个不相等的实数根 x1、x2， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0， 解得：m＜1， ∴实数 m 的取值范围是 m＜1； （2）∵关于 x 的方程 x 2﹣2x+m＝0 有两个不相等的实数根 x1、x2， ∴由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝m， ∵x1﹣x2＝1， ∴两边平方得：（x1﹣x2）2＝1 2， （x1+x2）2﹣4x1•x2＝1， 2 2﹣4m＝1， 解得：m＝ ． 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 八．配方法的应用