一元二次方程应用 利用一元二次方程可以: 、一元二次方程主要是解决实际问题: 主要解决:1、传播、分支问题;握手、写信,循环比赛问题;2、平均变化率问 题;3、数字问题;4、利润问题;5、图形的面积问题;5、利润问题;6、方案 设计问题等。 二、解分式方程(成平方关系、成倒数关系) 三、对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解: 一、相互问题(传播、循环) 例ε(传染问题)有一人患了流感,经过两轮传染后共有169人患了流感. (1)求每一轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少人患上流感? 分析:设每一轮传染中平均一个人传染了x个人 名称 传染源 新增病人共用病人数 等量关系 第一轮 1+ 1+x (1+x)x1+x+(1+x)x=(1+x)2(1+x)2=169 解: 练习:1.有两人患了红眼病,经过两轮传染后共有162人患了流感,每轮传染 中平均一个人传染了个人。 分析:设每一轮传染中平均一个人传染了x个人 名称传染源新增病人「共用病人数等量关系 第二轮 列得方程 解得:x= 2.某人患了流感,经过两轮传染后共64人患了流感 (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将 又有多少人被传染? 第1页
第 1 页 一元二次方程应用 利用一元二次方程可以： 一、一元二次方程主要是解决实际问题： 主要解决：1、传播、分支问题；握手、写信，循环比赛问题；2、平均变化率问 题；3、数字问题；4、利润问题；5、图形的面积问题；5、利润问题；6、方案 设计问题等。 二、解分式方程（成平方关系、成倒数关系） 三、对二次三项式 ax 2 +bx+c(a≠0)进行因式分解： 一、相互问题（传播、循环） 例：（传染问题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感． （1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？ 分析：设每一轮传染中平均一个人传染了 x 个人 名 称 传染源 新增病人 共用病人数 等量关系 第一轮 1 x 1+x 第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x=(1+x)2 (1+x)2 =169 解： 练习：1.有两人患了红眼病，经过两轮传染后共有 162 人患了流感，每轮传染 中平均一个人传染了 个人。 分析：设每一轮传染中平均一个人传染了 x 个人 名 称 传染源 新增病人 共用病人数 等量关系 第一轮 第二轮 列得方程： 解得：x= 2.某人患了流感,经过两轮传染后共 64 人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人?（2）如果不及时控制,第三轮将 又有多少人被传染?
3.某电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮传播后就会有144 台电脑被感染,设每轮传染中平均一台电脑传染ⅹ台电脑,则依题意可列方程 4.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,按照这样的速度, 第三轮传染后,患流感的人数是() A.1331B.1210C.1100 D.1000 问题2:(分蘖问题)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长 出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小 分支? 分析:设每个支干长出x小分支 主支 支干 小分支 等量关系 解: 练习:为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定利用微博转发的方式传播, 他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转 发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书, 依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n 名称发起人新增人数共有人数等量关系 第一轮 第二轮 解: 类型二:“握手”、“比赛”、“赠礼物” 1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有 个队参加比赛。 2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛132场比赛,共有 个队参加比赛。 第2页
第 2 页 3.某电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后就会有 144 台电脑被感染，设每轮传染中平均一台电脑传染 x 台电脑，则依题意可列方程 为______________- 4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，按照这样的速度， 第三轮传染后，患流感的人数是( ) A．1331 B．1210 C．1100 D．1000 问题 2：（分蘖问题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长 出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出多少小 分支？ 分析：设每个支干长出 x 小分支 主 支 支 干 小 分 支 等量关系 1 x X 2 1+x+x2 =91 解： 练习：为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定利用微博转发的方式传播， 他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n 个好友转 发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 n 个互不相同的好友转发倡议书， 依此类推，已知经过两轮传播后，共有 111 人参与了传播活动，则 n=______． 名 称 发起人 新增人数 共有人数 等量关系 第一轮 1 第二轮 解： 类型二：“握手”、“比赛”、“赠礼物” 1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛 45 场比赛，共有 个队参加比赛。 2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛 132 场比赛，共有 个队参加比赛
分析:如果有n个队参加比赛,除了不和自己比之外,每个队都要比场, n个队需要比场,第一队与第二队的比和第二对于第一对的比赛是同一场, 所以每场重复一次,所以供需比赛 场 如果每两队之间都进行两次比赛又有无重复现象? 3.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组 共互赠了182件,这个小组共有多少名同学? 4.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有多 少人? 分析:互赠礼品问题与比赛类似,但需考虑有无重复现象。 5、一个多边形共有54条对角线,那么它是边形。 分析:从n边形的一个顶点出发可做条对角线,n个顶点共做条对角线, AA4与AA;AA与AA1是同一条对角线吗?所以n边形共有条对角线。(n ≥4) 巩固练习: 1、一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共 人 2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚 会? 要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排 28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 4、某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作 纪念,全班共送了3080张照片.如果该班有x名同学,根据题意可列出方程为 第3页
第 3 页 分析：如果有 n 个队参加比赛，除了不和自己比之外，每个队都要比 场， n 个队需要比 场，第一队与第二队的比和第二对于第一对的比赛是同一场， 所以每场重复一次，所以供需比赛 场。 如果每两队之间都进行两次比赛又有无重复现象？ 3.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组 共互赠了 182 件，这个小组共有多少名同学？ 4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，这个小组共有多 少人？ 分析：互赠礼品问题与比赛类似，但需考虑有无重复现象。 5、一个多边形共有 54 条对角线，那么它是 边形。 分析：从 n 边形的一个顶点出发可做 条对角线，n 个顶点共做 条对角线， A1A4与 A4A1；A1An与 AnA1是同一条对角线吗？所以 n 边形共有 条对角线。（n ≥4） 巩固练习： 1、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共_____ 人 2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手 15 次,有多少人参加聚 会? 3、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排 28 场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 4、某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作 纪念，全班共送了 3080 张照片．如果该班有 x 名同学，根据题意可列出方程为?
5、一个n边形共有20条对角线,则它的内角和为多少度? 6、一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共人 (209·黑龙江)某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间 都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛?()A.4 B.5C.6D.7 8.(2019·通辽)为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,我市开 展“市长杯”足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安 排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛,根据题意,可列 方程为 二、平均变化率问题增长率 等量关系:(1)原产量+增产量=实际产量(2)单位时间增产量=原产量×增长 率(3)实际产量=原产量×(1+增长率) 例1、某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200 吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 分析:设平均每月增长的百分率为x,则 月份产量 二月份产量 三月份产量 等量关系 5000 5000(1+x) 5000(1+x)2=7200 5000(1+x)(1+x) 解:设平均每月增长的百分率为x,由题意得: 5000(1+x)2=7200解得:x1=0.2=20%x2=-2.2(舍去) 答:平均每月增长的百分率为20 例2.某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两 个降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 分析:设平均每次降价的百分率为x,则: 原价 第一次降价后第二次降价后等量关系 600 600(1-x)600(1-x)(1-x)600(1-x)2=384 解:设平均每次降价的百分率为x,由题意得:600(1x)2=384 解得:x1=0.2=20%x2=1.8(舍去 第4页
第 4 页 5、一个 n 边形共有 20 条对角线，则它的内角和为多少度？ 6、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共 人． 7．（2019•黑龙江）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间 都比赛一场，计划安排 15 场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2019•通辽）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开 展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安 排 21 场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛，根据题意，可列 方程为 ． 二、平均变化率问题 增长率 等量关系：（1）原产量+增产量=实际产量（2）单位时间增产量=原产量×增长 率（3）实际产量=原产量×（1+增长率）． 例 1、 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为 5000 吨，三月份上升到 7200 吨，这两个月平均 每月增长的百分率是多少？ 分析：设平均每月增长的百分率为 x,则： 一月份产量 二月份产量 三月份产量 等量关系 5000 5000（1+x） 5000(1+x)(1+x) 5000(1+x)2 =7200 解：设平均每月增长的百分率为 x，由题意得： 5000(1+x)2 =7200 解得：x1=0.2=20% x2=-2.2 (舍去) 答：平均每月增长的百分率为 20% 例 2. 某产品原来每件 600 元，由于连续两次降价，现价为 384 元，如果两 个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？ 分析：设平均每次降价的百分率为 x,则： 原价 第一次降价后 第二次降价后 等量关系 600 600（1-x） 600（1-x）（1-x） 600（1-x）2 =384 解：设平均每次降价的百分率为 x, 由题意得：600（1-x）2 =384 解得：x1=0.2=20% x2=1.8(舍去)
答:平均每次降价的百分率为20%. 例3、某新华书店计划第一季度共发行图书152万册,其中一月份发行图书 32万册,二、三月份平均每月增长率相同,求二、三月份各应发行图书多少万册 分析:设平均每月增长的百分率为x,则 月份发|二月份发三月份发行等量关系 行量 行量 32(1+x)32(1+x)|32+32(1+x)+32(1+x)2=152 (1+x) 解:设平均每月增长的百分率为x,由题意得:32+32(1+x)+32(1+x)2=152 解得:x1=0.5=50%x2=-3.5(舍去) 答:平均每月增长的百分率为50% 例4、某校2019年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2019年 共捐款4.75万元,问该校捐款的平均年增长率是多少 分析:设该校捐款的平均年增长率为x,则 2019年捐款2019年捐款2019年捐款等量关系 (1+x)(1+x)1+1+x+(1+x)2=4.75 解:设平均每月增长的百分率为x,由题意得:1+1+x+(1+x)2=4.75 解得:x1=0.5=509%x2=-3.5(舍去) 答:平均每年增长的百分率为50 巩固练习: 1、某电脑公司今年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二 月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增 长率. 分析:设平均每月营业额的增长率为x,则: 月份营业额「二月份营业额匚三月份营业额「等量关系 200 解 2.上海甲商场七月份利润为100万元,九月份的利率为121万元,乙商场七月 第5页
第 5 页 答：平均每次降价的百分率为 20%. 例 3、某新华书店计划第一季度共发行图书 152 万册,其中一月份发行图书 32 万册,二、三月份平均每月增长率相同,求二、三月份各应发行图书多少万册? 分析：设平均每月增长的百分率为 x,则： 一月份发 行量 二月份发 行量 三月份发行 量 等量关系 32 32（1+x） 32（1+x） （1+x） 32+32（1+x）+32（1+x）2 =152 解：设平均每月增长的百分率为 x, 由题意得：32+32（1+x）+32（1+x）2 =152 解得：x1=0.5=50% x2=-3.5(舍去) 答：平均每月增长的百分率为 50% 例 4、某校 2019 年捐款 1 万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到 2019 年 共捐款 4.75 万元,问该校捐款的平均年增长率是多少? 分析：设该校捐款的平均年增长率为 x,则： 2019 年捐款 数 2019 年捐款 数 2019 年捐款 数 等量关系 1 1+x (1+x)(1+x) 1+1+x+(1+x)2 =4.75 解：设平均每月增长的百分率为 x, 由题意得：1+1+x+(1+x)2 =4.75 解得：x1=0.5=50% x2=-3.5(舍去) 答：平均每年增长的百分率为 50% 巩固练习： 1、某电脑公司今年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二 月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增 长率． 分析：设平均每月营业额的增长率为 x,则： 一月份营业额 二月份营业额 三月份营业额 等量关系 200 解： 2．上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月