附录拉普拉斯变换 一、拉氏李换 1、拉氏变换定义 若f)为时间t的函数，且t<0时，ft)=0,>0,)逐段连续，则f)的拉氏变换定义为 F(s)=Lf()=[f(t)e-"dt FS象函数：f 原函数。 2、典型时间函数的 拉氏变换 (1)单位脉冲函数 80=m1=0 0.1≠0 且m60dh=1 F(s)=L()=[(te-"d=6(te'dt=[6(di=1 (2)单位阶跃函数 Ro=4eI=0eh=eE- (3)单位斜波函数 f)=R0=1.101≥0 0w-4m-「文-月 (4)抛物线函数 f0）=2120 F6)=41= (5)指数函数 f(t)-e-a F(s)(e"e"d-fed1 +a (6)正弦函数 f(t)=snot
1 附录 拉普拉斯变换 一、拉氏变换 1、 拉氏变换定义 若 f(t)为时间 t 的函数，且 t<0 时，f(t)=0，t>0，f(t)逐段连续，则 f(t)的拉氏变换定义为 F s L f t f t e dt st − = = 0 ( ) [ ( )] ( ) F(s)-象函数；f(t)-原函数。 2、 典型时间函数的拉氏变换 （1） 单位脉冲函数 + − = = = . ( ) 1 0. 0 . 0 ( ) t dt t t t 且 ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 = = = = = + − − + − − F s L t t e dt t e dt t dt s t （2） 单位阶跃函数 = = 1. 0 0. 0 ( ) 1( ) t t f t t s e s F s L t t e dt st st 1 | 1 ( ) [1( )] 1( ) 0 0 = = = = − − − − （3） 单位斜波函数 f (t) = R(t) = t •1(t).t 0 2 0 2 0 0 1 ( ) [ ( )] | s s e dt s e s e F s L R t te dt t st st st u t d v e st st = − = − = = − − − = − = − − − − − = 令 （4） 抛物线函数 . 0 2 1 ( ) 2 f t = t t 3 2 1 ] 2 1 ( ) [ s F s = L t = （5） 指数函数 at f t e − ( ) − s a F s L f t e e dt e dt a t st a s t + = = = = − − + − − − 1 ( ) [ ( )] 0 ( ) 0 （6） 正弦函数 f (t) = sin .t
no-om-naea-芳a-2 (7)余弦函数 f(t)=cosot F(s)=LfcOS] 二、拉氏变换的主要性质 1、s域平移定理：若)可拉氏变换，且有=FS),则 L[e-"f(t】=F(s+a) 2、时域平移定理：若f0)可拉氏变换，且有[=Fs,则 LIf(t-a)1(t-a)]=e-@F(s) 3、时域微分定理：若f)可拉氏变换，且有L[t=Fs),则 491=o0) 4f0]1=sF)-sf0）-s2fm0）-f-(0） dt" )9 f"(0)=d-f din-1 2-0 4、时域积分定理：若0)可拉氏变换，且有=Fs,g)=∫f),则 4g)=F四+0) S )=[f(t)di 5、s域徽分定理：若)可拉氏变换，且有=Fs,则 =dF(s) ds 6、比例尺变换定理：若f)可拉氏变换，且有山t=F(s,则 f(a】=F() aa 2
2 2 2 0 . . 0 ) 1 1 ( 2 1 2 . ( ) [ ( )] sin . + = + + − = − = = = − − − − − j s j s j s e dt j e e F s L f t te dt s t j t j t s t （7） 余弦函数 f (t) = cos.t 2 2 ( ) [cos . ] + = = s s F s L t 二、拉氏变换的主要性质 1、 s 域平移定理：若 f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 L[e f (t)] F(s a) at = + − 2、 时域平移定理：若 f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 L[ f (t a) 1(t a)] e F(s) −as − • − = 3、 时域微分定理：若 f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 − − − = − − − = − − − − − − − − = = = − − − − = − 1 0 1 ( 1) 0 (1) 1 2 (1) ( 1) | ( ) (0 ) | ( ) (0 ) ] ( ) (0 ) (0 ) . (0 ) ( ) [ ] ( ) (0 ) ( ) [ n t n n t n n n n n n dt d f t f dt df t f s F s s f s f f dt d f t L sF s f dt df t L 4、 时域积分定理：若 f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)， g(t) = f (t)dt ，则 = − − − − − = − = + 0 0 ( 1) ( 1) (0 ) ( ) | ( ) (0 ) [ ( )] t f f t dt s f s F s L g t 5、 s 域微分定理：若 f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 ds dF s L tf t ( ) [ ( )] = − 6、 比例尺变换定理：若 f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 ( ) 1 [ ( )] a s F a L f at =
7、初值定理：若)和f()(或msF(s)存在)可拉氏变换，且有t=Fs,则 当f)不包含K6()时 f(0)=limf(t)=lim sF(s) 当f0)包含K6()时 f0*)=Iimf()=lim[sF(s)-K] 8、终值定理：若)和∫)（或mf)存在）可拉氏变换，且有t=Fs,则 当sF(s)的所有极点均在s的左半平面时 Iimf()=linsF(s) 9、卷积定理：若1(0,20可拉氏变换，且有们(F1S,2(0F2(S,则 F(s).F(s)=L ()f(t-r)dr] f(r近t-r)dr为)、f)的卷积 f(t)*f(D)=[f(r)f (t-t)dr 三、拉氏逆变换 1、拉氏逆变换的定义 L[F(s】=f) m=2司eew 2、工程上常用的方法 工程上常遇到F(9为有理分式 Fs=M_bs”+bs+.+h5+6, N(s)as"+ans+.+.as +ap ()当F(s)的极点为相异数值时，F(s)可以表示为 Fs=M）_bs”+b-sm1+.+hs+b N(s)an(s-P(s-p2）(s-Pn)） A A An (s-p)(s-P2) 十.十 (s-p) 4=on,8 50)=FF(S=44e 台(s-p)台 3
3 7、 初值定理：若 f(t)和 ( ) ' f t （或 lim sF(s) s→ 存在）可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 当 f(t)不包含 Kδ(t)时 (0 ) ( ) lim ( ) 0 f l im f t sF s t→ s→ + = = 当 f(t)包含 Kδ(t)时 (0 ) ( ) lim[ ( ) ] 0 f l im f t sF s K t s = = − → → + 8、 终值定理：若 f(t)和 ( ) ' f t （或 lim f (t) t→ 存在）可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则 当 sF(s)的所有极点均在 s 的左半平面时 ( ) ( ) 0 l im f t l im sF s t→ s→ = 9、卷积定理：若 f1(t), f2(t)可拉氏变换，且有 L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s),则 f t f t f f t d f f t d f t f t F s F s L f f t d t t t ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 1 = − − • = − ） ） 为 ）、 ）的卷积 三、拉氏逆变换 1、 拉氏逆变换的定义 + − − = = j j st F s e ds j f t L F s f t ( ) 2 1 ( ) [ ( )] ( ) 1 2、 工程上常用的方法 工程上常遇到 F(s)为有理分式 1 0 1 1 1 0 1 1 . . ( ) ( ) ( ) a s a s a s a b s b s b s b N s M s F s n n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − − (1) 当 F(s)的极点为相异数值时，F(s)可以表示为 p t n i i n i i i s p i i i n n n n m m m m i i Ae s p A f t L F s L N s M s s p A A s p A s p A s p A a s p s p s p b s b s b s b N s M s F s = = − − = − − = − = = − = − + + − + − = − − − + + + + = = 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 0 1 1 ] ( ) ( ) [ ( )] [ ]| ( ) ( ) ( ) [ ( ) . ( ) ( ) ( )( ).( ) . ( ) ( ) ( )
(2)当F)中的极点pl为1重极点时，Fs)可以表示为 -97-0++++t4 A A F(S)= s-P1 S-P2 S-Pn-I =[(s-P WiS)- -py ea A-1= (3)例题 例1F(s)= 5s+3 (s+1)s+2)(s+3) 求ft) 解 F)=A+4+4 5+1s+25+3 55+3 A= (5+2)(s+3) 1=-1=-1 5s+3 6+1X5+3)=2=7 A2= 55+3 A3= 6+1s+2)=3=-6 f()=-e'+7e21-6e3
4 （2）当 F(s)中的极点 pl 为 l 重极点时，F(s)可以表示为 l l l s p l k l k l k s p l l l s p l l l n l n l l l l l l l l N s M s s p ds d k A N s M s s p ds d A N s M s A s p s p A s p A s p A s p A s p A F s − = − = = − − − − = − = − = − − + + − + − + + − + − = ] | ( ) ( ) [( ) 1 ]| ( ) ( ) [( ) ]| ( ) ( ) [( ) . . ( ) ( ) ( ) 1, 1, 1 1, 2 1,1 2 1 1, 1, 1 （3）例题 例 1 ( 1)( 2)( 3) 5 3 ( ) + + + + = s s s s F s 求 f(t) 解 t t t s s s f t e e e s s s A s s s A s s s A s A s A s A F s 2 3 3 3 2 2 1 1 1 2 3 ( ) 7 6 | 6 ( 1)( 2) 5 3 | 7 ( 1)( 3) 5 3 | 1 ( 2)( 3) 5 3 1 2 3 ( ) − − − =− =− =− = − + − = − + + + = = + + + = = − + + + = + + + + + =
1 例2F(s)=3s+1s+2) 解 F=4+4+4,+4 ss+1 s+2 .1 A2= (s+1)(s+2) 2 d1 3 4=ds(s+1(s+2) 1 A,=g2(s+2) -1=1 4. 1 1 4s+1 f0=2+号 e- 3.1,. 5
5 例 2 ( 1)( 2) 1 ( ) 2 + + = s s s F s 解 t t s s s s f t t e e s s s s F s s s A s s A ds s s d A s s A s A s A s A s A F s 2 2 .3 2 2 .2 2 1 1.1 0 1.2 0 .2 .3 1 1.1 2 1.2 4 1 2 1 4 3 ( ) 2 1 ) 4 1 ( 1 1 1 ) 4 3 ( 1 2 1 ( ) 4 1 | ( 1) 1 | 1 ( 2) 1 4 3 | ( 1)( 2) 1 2 1 | ( 1)( 2) 1 1 2 ( ) − − =− =− = = = − + + − + + − + = + − + = − + = = + = = − + + = = + + = + + + = + +