长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容又要考虑取出元素的顺序。（1）在有放回选取的情形这时每一次取出都是在全体元素中进行的，同一元素可能被重复取出.从n个元素中有放回地取出r个元素所构成的排列叫做有重复的排列，其总数共有n（2）在不放回选取的情形，这时一个元素一旦被取出便立刻从该集合中出去，因此每个元素至多被取到一次.从n个元素中不放回地取出r个元素所构成的排列叫做选排列，其总数为A = n(n-1)(n-2)...(n-r+1)特别地，当r=n时，叫做全排列，总数为A”=n！4.组合从n个元素中任意取出r个元素而不考虑顺序，叫做组合，其总数为n!A_ n(n-1).(n-r+1)Crr!rl(n-r)!r!crαb"-的的系数）。这里Cr是二项展开式(a+b)）"=r=0例如，一罐中装有4个白球，3个黑球，从这7个球中任意取3个球的总数为=A__7×6x5C3:=353×2×l3×2×l二、事件的频率及其性质定义1随机事件A在n次重复试验中发生了k次，则称比值=为事件A在n次n试验中出现的频率，记为J.(4)=kn由此定义，容易得到频率具有如下性质：（1）对于每一个随机事件A，有0≤f,（A)≤1：(2) f(2)=1, f(g)=0 ;（3）若事件A，B互不相容，则有f.(AU JB)= f.(A)+ f.(B)性质（3)叫做频率的可加性.其证明如下：设在n次试验中，事件A、B、AUB，分别出现K，次，KB次，KUs次，因为A、B互不相容，所以KUs=K,+KB，因此有6页P
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 又要考虑取出元素的顺序. （1）在有放回选取的情形 这时每一次取出都是在全体元素中进行的，同一元素可能被重复取出.从 n 个元 素中有放回地取出 r 个元素所构成的排列叫做有重复的排列，其总数共有 r n . （2) 在不放回选取的情形，这时一个元素一旦被取出便立刻从该集合中出去， 因此每个元素至多被取到一次.从 n 个元素中不放回地取出 r 个元素所构成的排列叫 做选排列，其总数为 A = n(n −1)(n − 2) (n − r +1) r n 特别地，当 r=n 时，叫做全排列，总数为 n An =n！ 4. 组合 从 n 个元素中任意取出 r 个元素而不考虑顺序，叫做组合，其总数为 !( )! ! ! ( 1) ( 1) ! r n r n r n n n r r A C r r n n − = − − + = = . （这里 r Cn 是二项展开式 + = n (a b) 0 n r n r C = r n r a b − 的的系数）. 例如，一罐中装有 4 个白球，3 个黑球，从这 7 个球中任意取 3 个球的总数为 3 C7 3 7 7 6 5 = =35 3 2 1 3 2 1 A = . 二、事件的频率及其性质 定义 1 随机事件 A 在 n 次重复试验中发生了 k 次，则称比值 k n 为事件 A 在 n 次 试验中出现的频率，记为 n ( ) k f A n = . 由此定义，容易得到频率具有如下性质： （1） 对于每一个随机事件 A，有 0 f n (A) 1 ； （2） f () = 1， f () = 0 ； （3） 若事件 A， B 互不相容，则有 f (A B) f (A) f (B) n = n + n 性质（3)叫做频率的可加性.其证明如下： 设在 n 次试验中，事件 A、B、 AB ，分别出现 KA 次， KB 次， AB K 次，因 为 A、 B 互不相容，所以 AB K = KA + KB ，因此有
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容KUe_ K,+KB_ K+KB= .(A)+ f.(B)f.(AUB)=三、概率的统计定义定义2若事件A出现的频率随着试验次数n的增大而稳定于某一常数p，则称p为事件A的概率.记作P(A)=p数值p就是在一次试验中对事件A发生的可能性大小的数量刻划.例如，0.5就是刻概率定义换个角度讲画抛一枚硬币试验的事件B=(正面向上H)的概率，即P(B)=0.5由频率的性质和概率的统计定义即可得概率的如下性质H(1) 0≤P(A)≤1;P(α)=1, P()= 0 ;概率性质的介（2）对两两互斥的有限个随机事件A，A，，，A，有绍和推导大约用30分钟P(AUAU...UA.)= P(A)+P(A)+...+P(A.)性质（2）叫做概率的有限可加性.此性质可以推广至概率的可列可加性.即若事件A，A，An,两两互斥，则P(AUAU...UAU...)= P(A)+P(A)+...+P(A)+..利用这些性质可以证明下面三个性质。(3) P(A)=1-P(A) :(4) 若AB,则P(B-A)=P(B)-P(A);若 A,B 为任意事件，则P(B-A)=P(B)-P(AB) ;(6) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) :性质（6）叫做概率加法公式，性质（3）是它的特例, P(B)=例1 设P(A)=一，在下列三种情况下，求P(AUB)及P(A-B)3的值.(3) P(AB)=（1）A与B互斥：(2) BCA:
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 ( ) ( ) ( ) A B A B A B n n n K K K K K f A B f A f B n n n n + = = = + = + 三、概率的统计定义 定义 2 若事件 A 出现的频率随着试验次数 n 的增大而稳定于某一常数 p ，则 称 p 为事件 A 的概率.记作 P A p ( ) = 数值 p 就是在一次试验中对事件 A 发生的可能性大小的数量刻划.例如，0.5 就是刻 画抛一枚硬币试验的事件 B = {正面向上 H }的概率，即 P B( ) = 0.5 . 由频率的性质和概率的统计定义即可得概率的如下性质 H . （1） 0 1 P A( ) ； P P ( = = ) 1, 0 ( ) ； （2）对两两互斥的有限个随机事件 A1 ， A2 ，.， A n ，有 P A A A P A P A P A ( 1 2 1 2 n n ) = + + + ( ) ( ) ( ) . 性质（2）叫做概率的有限可加性.此性质可以推广至概率的可列可加性.即若事件 A1 ， A2 ，. , , An 两两互斥，则 P A A A P A P A P A ( 1 2 1 2 n n ) = + + + ( ) ( ) ( )+ 利用这些性质可以证明下面三个性质. （3） P A P A ( ) = −1 ( ) ； （4） 若 A B ，则 P B A P B P A ( − = − ) ( ) ( ) ； 若 A B, 为任意事件，则 P B A P B P AB ( − = − ) ( ) ( ) ； （6） P A B P A P B P AB ( ) = + − ( ) ( ) ( ) . 性质（6）叫做概率加法公式,性质（3）是它的特例. 例 1 设 ( ) 1 3 P A = ， ( ) 1 4 P B = ，在下列三种情况下，求 P A B ( ) 及 P A B ( − ) 的值. （1） A 与 B 互斥； （2） B A ； （3） ( ) 1 6 P AB = . 概 率 定 义 换 个 角度讲 概率性质的介 绍和推导大约 用 30 分钟
长春大学旅游学院课程教案用纸教案内容教学设计三、古典概型1.古典概型如果一个试验E具有以下两个特点：（1）样本空间Q是由有限个样本点组成的，即其基本事件的个数是有限的；（2）每个基本事件出现的可能性相同（也叫做等可能性）。则称E为古典型随机试验，相应的数学模型叫做古典概型.古典概型在实践中有广泛的应用，它在概率论中占有相当重要的地位。对于古典概型，设其样本空间Q={の，の，，の，由于UのUUの=Q，且诸の间是互不相容的，利2概率的古典定义定义3对于古典概型，设其样本空间包含基本事件的个数为n，事件A包含基KK为事件A的概率，记作P（A)即本事件的个数为k，则称比值nP(A)=kn古典概率定义此定义叫做概率的古典定义，及推导大约用例210件产品中，有8件正品，2件次品，任取一件产品，求取得次品的概率，15分钟，例4一罐中装有4个白球，3个黑球，从这7个球中一次任取3个球，问它们全是白球的概率是多少？例5设N件产品中，有M件次品.从N件中任取n件（n<N）.求n件中恰有m件次品的概率(0≤m≤M)例题讲解约15例6一口袋中装有红、白、黄色球各一个.从中随机抽取三次，每次取一个球，取分钟后观察其颜色后放回.再取下一个球，求三次都取白球的概率，需要注意的是：1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件：等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：小结：介绍了古典概型及概率的古典定义，着重举例说明如何进行古典概率的计算.第三节条件概率及乘法公式一、条件概率定义1 设 A，B是两个事件，且P(A)>0,则P(B[A)=PC4B)(1)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率：称第8页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 三、古典概型 1. 古典概型 如果一个试验 E 具有以下两个特点： （1）样本空间 是由有限个样本点组成的，即其基本事件的个数是有限的； （2）每个基本事件出现的可能性相同（也叫做等可能性）. 则称 E 为古典型随机试验,相应的数学模型叫做古典概型.古典概型在实践中有广 泛的应用，它在概率论中占有相当重要的地位.对于古典概型，设其样本空间 1 2 { } = ， ， ， n ，由于 1 2 n = ，且诸 i 间是互不相容的，利 2 概率的古典定义 定义 3 对于古典概型，设其样本空间包含基本事件的个数为 n ，事件 A 包含基 本事件的个数为 k ，则称比值 k n 为事件 A 的概率，记作 P A( ) 即 ( ) k P A n = 此定义叫做概率的古典定义. 例 2 10 件产品中，有 8 件正品，2 件次品，任取一件产品，求取得次品的概率. 例 4 一罐中装有 4 个白球，3 个黑球，从这 7 个球中一次任取 3 个球，问它们全是 白球的概率是多少？ 例 5 设 N 件产品中，有 M 件次品.从 N 件中任取 n 件（ n N ).求 n 件中恰有 m 件次品的概率( 0 m M ). 例 6 一口袋中装有红、白、黄色球各一个.从中随机抽取三次，每次取一个球，取 后观察其颜色后放回.再取下一个球，求三次都取白球的概率. 需要注意的是： 1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.;等可能性”是一种假设， 在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等 可能的. 2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏. 3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 小 结 :介 绍 了 古 典 概 型 及 概 率 的 古 典 定 义 ,着 重 举 例 说 明 如 何 进 行 古 典 概率的计算. 第三节 条件概率及乘法公式 一、条件概率 定义 1 设 A ， B 是两个事件，且 P(A) 0 ，则 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = （1） 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率；称 古典概率定义 及推导大约用 15 分钟. 例题 讲 解 约 15 分钟