重庆医科大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第四章 向量组的线性相关性

向量组B：bi,b2,……,b,能由向量组A：ai,a2,……,am线性表存在矩阵K，使得AK=B矩阵方程AX=B有解（P.84定理2）R(A) = R(A, B)因为 R(B)≤R(A, B)R(B)≤R(A)(P.85 定理3)推论：向量组A：ai,az，…am及B：bi,b2,……，b,等价的充分必要条件是 R(A) = R(B)=R(A,B).证明：向量组A和B等价向量组B能由向量组A线性表示R(A) = R(A, B)向量组A 能由向量组B线性表示R(B) = R(A, B)从而有R(A) = R(B) = R(A, B)

向量组 B：b1 , b2 , ., bl 能由向量组 A：a1 , a2 , ., am 线性表 示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 推论：向量组 A：a1 , a2 , ., am 及 B：b1 , b2 , ., bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)． 证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ． 因为 R(B) ≤ R(A, B) R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B)

(1)(1)1201-1例:设a, =b=,a243(2)(3)0(1)证明向量b能由向量组ai,a2,as线性表示，并求出表示式。解：向量 b能由 i,a2,a线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)。2 3101110-12-101-2(A,b) :0024300100020301所以向量 b 能由 ai,az,as 线性表示.因为R(A) = R(A, b) = 2

例：设 证明向量 b 能由向量组 a1 , a2 , a3 线性表示，并求出表示式． 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 0 , , , 2 1 4 3 2 3 0 1 a a a b                                                      解：向量 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ． 1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 0 1 2 1 ( , ) ~ 2 1 4 3 0 0 0 0 2 3 0 1 0 0 0 0 r A b                             因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示．

2301111121001-2-1-1(A,b) :230000142003000xi+3x, = 2行最简形矩阵对应的方程组为X, -2x, = -12-3c+23通解为x=c22c-1-1+C所以 b= (—3c + 2) a + (2c—1) az + c as ·

1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 0 1 2 1 ( , ) ~ 2 1 4 3 0 0 0 0 2 3 0 1 0 0 0 0 r A b                             行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ． 1 3 2 3 3 2 2 1 x x x x         3 2 3 2 2 1 2 1 1 0 c x c c c                                      

n阶单位矩阵的列向量叫做n维单位坐标向量设有nXm矩阵A=(ai,az,…,am)，试证：n 维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A) = n :分析：n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示R(A) = R(A, E)R(A) = n .(注意到：R(A,E)= n一定成立)

n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量． 设有n×m 矩阵 A = (a1 , a2 , ., am) ，试证：n 维单位坐标向 量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是 R(A) = n ． 分析： n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示 R(A) = R(A, E) R(A) = n ．（注意到：R(A, E) = n 一定成立）

小结向量 b 能由线性方程组R(A) = R(A,b)向量组 AAx = b线性表示有解向量组 B 能矩阵方程组AX= BR(A) = R(A,B)由向量组 A有解线性表示R(B)≤R(A)向量组 A与R(A) = R(B) = R(A,B)向量组 B等价

小结 R A R A b ( ) ( , )  向量 b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 R A R A B ( ) ( , )  向量组 B 能 由向量组 A 线性表示 矩阵方程组 AX = B 有解 R B R A ( ) ( )  R A R B R A B ( ) ( ) ( , )   向量组 A 与 向量组 B 等价