重庆医科大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第四章 向量组的线性相关性

设有向量组A：ay,a2，……,am及B：by,b2,…b,，若向量组B能由向量组A线性表示，即线性表示的系数矩阵R2.b)=(a,az,..,amkm

设有向量组 A：a1 , a2 , ., am 及 B：b1 , b2 , ., bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 m l m l m l l m m m b k a k a k a b k a k a k a b k a k a k a                 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , m m m m l l m l l l k k k k k k b b b a a a k k k               线性表示的 系数矩阵

若 CmXn= AmxIBiXn，E即bua2b,CC12alCanalbab.b.a22(2)C21C22Cana2l2m-..b,b,b.CCaa0..?1112m2m2mllnml2brzbb2262n则(cr,C2,",c,)=(a.,,bbiz..bin411In结论：矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示B为这一线性表示的系数矩阵

若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即 则     11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n l l l ln b b b b b b c c c a a a b b b              结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵． 11 12 1 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 n l n n l n m m mn m m ml l l ln c c c a a a b b b c c c a a a b b b c c c a a a b b b                               

若 Cmxn=AmxIBxn，即bubu2Ci2alCayta121nb21Db22C2C22a21a22C2na2l............·.....bμbr2amlCm2(m)am2b.CmCmlTbana12l1rb,a21a22a21则...........Tbfamlam2amlm结论：矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵

若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即 11 12 1 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 n l n n l n m m mn m m ml l l ln c c c a a a b b b c c c a a a b b b c c c a a a b b b                                则 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 1 2 T T l T T l T T m l m m ml r b a a a r b a a a r b a a a                                      结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵．

口诀：左行右列定理：设A是一个mXn矩阵V对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵：√对A施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n阶初等矩阵结论：若C=AB，那么B的行向量组线性表示，A为口矩阵C的行向量组能由矩阵（A在左边）这一线性表示的系数矩阵。口矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B在右边）

口诀：左行右列 定理：设A是一个 m×n 矩阵，  对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应 的 m 阶初等矩阵；  对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应 的 n 阶初等矩阵. 结论：若 C = AB ，那么  矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为 这一线性表示的系数矩阵．（A 在左边）  矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为 这一线性表示的系数矩阵．（B 在右边）

口诀：左行右列经过有限次初等列变换变成BBA~存在有限个初等矩阵Pi,P2,……,P,，使APi P2,P=B把P看成是存在m阶可逆矩阵P，使得AP=B线性表示的系数矩阵矩阵1B的列向量组与矩阵A的列向量组等价同理可得A~B矩阵B的行向量组与矩阵A的行向量组等价

~ c A B A 经过有限次初等列变换变成 B 存在有限个初等矩阵P1 , P2 , ., Pl ，使 AP1 P2 ., Pl = B 存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B 矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 ~ r A B 矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 同理可得 口诀：左行右列. 把 P 看成是 线性表示的 系数矩阵