向量减法的三角形法则 把a与b的起点放在一起,即a-b是以b的 终点为起点,以a的终点为终点的方向向量 、向量的坐标表示 1.向径及其坐标表示 向径:起点在坐标原 点O,终点为M的向量 OM称为点M的向径,记b 为r(M)或OM a+(-b) 司冈凶
向量减法的三角形法则： 把 a 与 b 的起点放在一起,即 a b − 是 以 b 的 终点为起点,以 a的终点为终点的方向向量 . 1.向径及其坐标表示 向径：起点在坐标原 点O ,终点为M 的向量 OM 称为点M 的向径,记 为r(M)或OM . b a a+(-b) a-b -b 三、向量的坐标表示
基本单位向量 在坐标轴上分别取与x轴,y轴和z轴方向 相同的单位向量称为基本单位向量,分别用 k 表示 向径的坐标: 若点M的坐标为(x,yz),则向量 OA=x2OB=y,OC=zk由向量的加法法则得 OM=OM+MM=(O4+OB)OC=xi+y+zk,称其 为点M(x,y=)的向径OM的坐标表达式,简记为 OM=x,y,=j □冈四
基本单位向量： 在坐标轴上分别取与 x 轴, y 轴 和 z 轴方向 相同的单位向量称为基本单位向量,分别用 i , j,k , 表示. 向径的坐标： 若 点 M 的坐标为 ( , , ) x y z , 则 向 量 OA= xi, OB = yj , OC = zk 由向量的加法法则得 OM =OM +M M =(OA+OB )+OC = x y z i j k + + ，称其 为 点 M ( , , ) x y z 的向径OM 的坐标表达式，简记为 OM =x, y,z
2.向量MM2的坐标表达式 设M1(x,y12=1),M2(x2,y2=2)为坐标系中两点,向径 OM1,OM2的坐标表达式为OM1=x1i+y1+k, OM2=x2i+y2j+=2k,则以M为起点,以M2为终 点的向量 M,M,=OM2-OMI =(x2i+y2j+2k)-(x+yj+=k) (x2-x1)i+(y2-y1)j+(=2-=1)k, 即以M1(x1,y12=1)为起点,以M2(x2,y2=2)为终点的向量 MM2的坐标表达式为 M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)j+(二2-21)k □冈四
2 .向量M M1 2 的坐标表达式 设 1 1 1 1 M x y z ( , , )， 2 2 2 2 M x y z ( , , )为坐标系中两点，向径 O M1 , OM2 的坐标表达式为 OM1 1 1 1 = + + x y z i j k ， OM2 2 2 2 = + + x y z i j k ，则以 M1为起点, 以 M2 为终 点的向量 M M1 2 =OM OM 2 1 − 2 2 2 = + + ( ) x y z i j k 1 1 1 − + + ( ) x y z i j k 2 1 2 1 2 1 = − + − + − ( ) ( ) ( ) x x y y z z i j k , 即 以 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 为起点,以 2 2 2 2 M x y z ( , , ) 为终点的向量 M M1 2的坐标表达式为 1 2 2 1 2 1 2 1 M M x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) i j k
3.向量a=a1i+a2j+a2k的模 任给一向量a=ai+a2j+a3k,都可将其视为以点 M(a1,a2,a3)为终点的向径OM,|OMP=OAP +|OBP+|OCP,即|a2=a2+a2+a32,所以向量 a=a1i+a2+a3k的模为a=a12+a2+a3 M M B 司冈凶
3.向量 1 2 3 a i j k = + + a a a 的模 任给一向量 1 2 3 a i j k = + + a a a ,都可将其视为以点 M ( a1 , a2 , 3 a ) 为 终 点 的 向 径 OM , 2 | | OM = 2 | | OA + 2 | | OB + 2 | | OC , 即 2 | a | = 2 3 2 2 2 a1 + a + a , 所 以 向 量 1 2 3 a i j k = + + a a a 的模为 a = 2 3 2 2 2 1 a + a + a . z A B C M' M i k O x j y z O x y M1 M2
4.空间两点间的距离公式 设点M1(x1,y1,=1)与点M2(x2,y2,z2),且两点间的 距离记作d(M1M2),则 d(MM2)=1MM2=√(x2-x)+(y2-y1)2+(=2-=)2 例1(1)写出点A(1,2,1)的向径 (2)写出起点为4(1,2,1),终点为B(3,3,0)的向量 的坐标表达式; (3)计算A,B两点间的距离 解(1)OA=i+2j+k; (2)AB=(3-1)+(3-2)+(0-1)k 2i+j-k □冈四
4 .空间两点间的距离公式 设点M1 ( 1 x , 1 y , 1 z )与点 M2 ( 2 x , 2 y , 2 z )，且两点间的 距离记作 ( ) d M1M2 ,则 ( ) d M1M2 = 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 | | ( ) ( ) ( ) M M x x y y z z = − + − + − . 例1 (1)写出点A(1,2,1)的向径； (2)写出起点为A(1,2,1) ,终点为B(3,3,0)的向量 的坐标表达式； (3)计算A,B 两点间的距离. 解 (1)OA = + + i j k 2 ； (2) AB = − + − + − (3 1) (3 2) (0 1) i j k = + − 2i j k ；