微分方程的基本概念 在许多科技领域里,常会遇到这样的问题 某个函数是怎样的并不知道,但根据科技领域的普遍规律,却可以知道这个未知函数及其导数 与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子 例题:已知一条曲线过点(1,2),且在该直线上任意点P(xy)处的切线斜率为2x,求这条曲线方 解答:设所求曲线的方程为y=(x),我们根据导数的几何意义,可知y=y(x)应满足方程: 中 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程 在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻 从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数(它要在某区间上连 续)称为微分方程的解,微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解 满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解,这种特解通常是满足一定的附 加条件的解 通常,微分方程的一般解里,含有一些任意常数,其个数与微分方程的阶数相同,因此用来确 定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同 可分离变量的微分方程与齐次方程 下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。 并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解,只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积 分法求解,并且解法也各不相同。因此,我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法 可分高变量的微分方程 这种方程的形式为:y=f(x)g( 我们往往会以为将上式两端积分即可求解。其实是不对的。因为两端积分后,得 -f(x)g,右端是什么也求不出的,所以求不出y来 其正确解法为:设y=y(x)为所求的解,于是当y=y(x)时,有 中=pax=f(x)g()ax,mg( 中=f(x)g(x 这一步把y的函数及dy与x的函数及dx分开了,称为分离变量,这是求解的关键的一步,下 步我们就可由不定积分换元法进行求解了 例题:求方程=2的通解 解答:这是一个可分离变量的方程,分离变量后得
微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数 与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点 P(x,y)处的切线斜率为 2x，求这条曲线方 程 解答：设所求曲线的方程为 y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知 y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数 y 的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻 烦。 从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数（它要在某区间上连 续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解. 满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附 加条件的解。 通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确 定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同. 可分离变量的微分方程与齐次方程 下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。 并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解，只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积 分法求解，并且解法也各不相同。因此，我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。 可分离变量的微分方程 这种方程的形式为： 我们 往往 会以 为将上 式两 端积 分即 可求 解。其 实是 不对 的。 因为两 端积 分后 ，得 ，右端是什么也求不出的，所以求不出 y 来。 其正确解法为：设 y=y(x)为所求的解，于是当 y=y(x)时，有 ，即 这一步把 y 的函数及 dy 与 x 的函数及 dx 分开了，称为分离变量，这是求解的关键的一步，下 一步我们就可由不定积分换元法进行求解了。 例题：求方程 的通解。 解答：这是一个可分离变量的方程，分离变量后得
中 =2xdx,(y≠D 两端分别积分,得 lp=x2+(,即=±2+(1 这就是该方程的通解。 齐次微分方程 这种微分方程的形式为: 它也不能由两端积分求解。其求解步骤为 2= 则y y的微分方程就化成了u的微分方程 f()- x+=了()即: 这就化成了可分离变量的微分方程,再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。 满足 例题:求方程4x 的特解 解答:这是一个齐次方程。令y=ux代入,得 分离变量后,得 两端分别积分,得 2=+G 其中C=±e-q 代回uyx,得原方程的通解为少c20 将初始条件y0)=1代入,得C=1 所以满足初始条件的特解为 线性微分方程
两端分别积分，得 令 ，得 这就是该方程的通解。 齐次微分方程 这种微分方程的形式为： 它也不能由两端积分求解。其求解步骤为： 令 ，则 ，y 的微分方程就化成了 u 的微分方程 即： 这就化成了可分离变量的微分方程，再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。 例题：求方程 的特解。 解答：这是一个齐次方程。令 y=ux 代入，得 分离变量后，得 两端分别积分，得 或 其中 代回 u=y/x，得原方程的通解为 将初始条件 y(0)=1 代入，得 C=1. 所以满足初始条件的特解为 线性微分方程
线性微分方程 这种微分方程的形式为:+P=,其中,pq与y无关,但可以与x有关它对y与y而 言是一次的,故被称之为一阶线性微分方程 当q=0时称为齐次线性微分方程;当q0时称为非齐次线性微分方程 齐次线性微分方程的解法 齐次线性微分方程的形式为:y+P=0 此方程是可分离变量的微分方程,分离变量后,得:y ,这就可以由我们前面所学 的方法进行求解 例题:求x 的一般解。 解答:由此方程可得y dx .In(cv)=In(x 因此该方程的一般解为:=a(x+1)1 非齐次线性微分方程的解法 非齐次线性微分方程的形式为,y+P 这种方程的解法为:先求出其对应的齐次线性微分方程y+py=0的一般解-,然后把 c看作x的函数,再代到非齐次线性微分方程中来决定c,使它能满足非齐次微分方程 =c中把c作为x的函数求导数比c作为常数求导数要多处一项:ce),所以=c7 c作为x的函数代入微分方程就得到P+pP=c()+ce+pce=cP=q 所以只要C=9 94女就可使非齐次线性微分方程得到满足,即y=7Jax为所 求的一般解。 上面我们说学的这种解法被称为 Lagrange常数变易法 y 例题:求解 +1 解答:相应齐次线性微分方程 x+1 的一般解为:=c(x+1) c(x+1)+]+c(x+1-]+( 把c看成x的函数代入得 x+/(x+1-1=c(r+D-=x 因此:c=x(x+1) x-+一x-十 1 故 就是非齐次线性微分方程的一般解
线性微分方程 这种微分方程的形式为： ，其中，p,q 与 y,y'无关，但可以与 x 有关.它对 y 与 y'而 言是一次的，故被称之为一阶线性微分方程。 当 q=0 时称为齐次线性微分方程；当 q≠0 时称为非齐次线性微分方程。 齐次线性微分方程的解法 齐次线性微分方程的形式为： 此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得： ，这就可以由我们前面所学 的方法进行求解。 例题：求 的一般解。 解答：由此方程可得 ，故 因此该方程的一般解为： 非齐次线性微分方程的解法 非齐次线性微分方程的形式为： 这种方程的解法为：先求出其对应的齐次线性微分方程 的一般解 ，然后把 c 看作 x 的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定 c，使它能满足非齐次微分方程。 中把 c 作为 x 的函数求导数比 c 作为常数求导数要多处一项： ，所以 中 c 作为 x 的函数代入微分方程就得到 . 所以只要 ，即 就可使非齐次线性微分方程得到满足，即 为所 求的一般解。 上面我们说学的这种解法被称为 Lagrange 常数变易法。 例题：求解 解答：相应齐次线性微分方程 的一般解为： 把 c 看成 x 的函数代入得： 因此：c'=x(x+1) ∴ 故： 就是非齐次线性微分方程的一般解
可降阶的高阶方程 求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以 降阶的方程。 1右端仅合x的方程:y=f(x) 对这类方程,只须两端分别积分一次就可化为一阶方程 y'=」fx)k1 再次积分,即可求出方程得通解。 y=(x)+x+2 例题:求方程y"=cosx的通解。 解答:一次积分得: y'-cosxax-sinx+Cl 次积分即得到方程得通解: y=-cosx +CIx+C? 2右端不显含y的方程:y"=(xy") 我们为了把方程降阶,可令y=甲p,将p看作是新的未知函数,x仍是自变量,于是 代入原方程得 f(r, p) d 这就是一个一阶方程,然后即可由我们前面学的方法进行求解了。 例题:求方程x的通解 中 解答:令y甲p 代入方程,得 分离变量后,得 p x 积分,得 再积分,即得原方程的通解: 3右端不显含x的方程:y"=fy 我们为了把方程降阶,可令y=p,将p看作是自变量y的函数,有
可降阶的高阶方程 求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以 降阶的方程。 1.右端仅含 x 的方程：y"=f(x) 对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程 ， 再次积分，即可求出方程得通解。 例题：求方程 y"=cosx 的通解。 解答：一次积分得： 二次积分即得到方程得通解： 2.右端不显含 y 的方程：y"=f(x,y') 我们为了把方程降阶，可令 y'=p，将 p 看作是新的未知函数，x 仍是自变量，于是 ， 代入原方程得： 这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。 例题：求方程 的通解。 解答：令 y'=p. ，代入方程，得 分离变量后，得 积分，得 .即 再积分，即得原方程的通解： . 3.右端不显含 x 的方程：y"=f(y,y') 我们为了把方程降阶，可令 y'=p，将 p 看作是自变量 y 的函数，有
中中中 dx dy dx 代入原方程,得 中 fo, p 这是关于p的一阶方程,我们可由此解出通解,然后再代入原方程求解,即可 例题:求方程 的通解 中 解答:令 y=P吵代入原方程得: dp 0 它相当于两个方程 p=0 由第一个方程解得:y=C 第二个方程可用分离变量法解得 p=Cly 从而 y 由此再分离变量,解得: 这就是原方程的通解(解y=C包含在这个解中) 线性微分方程解的结构 我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构,当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。 二阶线性方程的一般形式为 y+Pxy+e(ry=f(x) 其中y"y'y都是一次的,否则称为二阶非线性方程 线性齐次方程解的结构 二阶线性齐次方程的形式为 y+P(xy+e(y=0
代入原方程，得 这是关于 p 的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。 例题：求方程 的通解 解答：令 代入原方程得： 它相当于两个方程： 由第一个方程解得：y=C; 第二个方程可用分离变量法解得 p =C1y 从而 由此再分离变量，解得： 这就是原方程的通解（解 y=C 包含在这个解中） 线性微分方程解的结构 我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。 二阶线性方程的一般形式为 其中 y",y',y 都是一次的，否则称为二阶非线性方程。 线性齐次方程解的结构 二阶线性齐次方程的形式为：