初中数学一元一次方程9大题型解析

初中数学一元一次方程9大题型解析 、列一元一次方程解应用题的一般步骤 (1)审题:弄清题意 (2)找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系(3)设出未知数,列出方程: 设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程(4) 解方程:解所列的方程,求出未知数的值(5)检验,写答案:检验所求出的未知数的 值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案 、一元一次方程解决应用题的分类 1市场经济、打折销售问题 (一)知识点 (1)商品利润=商品售价一商品成本价(2)商品利润率=商品利润/商品成品价 ×100%(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价 成本价)×销售量(5)商品打几折出售,就是按原价的百分之几十出售,如商品打8 折出售,即按原价的80%出售 (二)例题解析 1某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅。经过测试:同时开放1个大餐厅、2个小餐厅, 可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐 (1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐 (2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由 解:(1)设1个小餐厅可供y名学生就餐,则1个大餐厅可供(16802y)名学生就餐, 根据题意得 2(16802y)+y=2280 解得:y=360(名) 所以16802y=960(名) (2)因为960×5+360×2=5520>5300 所以如果同时开放7个餐厅,能够供全校的5300名学生就餐 2工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元:按标价的八五折销售该工艺 品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等。该工艺品每件的进价、标 价分别是多少元? 解:设该工艺品每件的进价是元标价是(45+x)元。依题意,得: 8(45+X)×0.85-8x=(45+X-35)×12-12x

初中数学一元一次方程 9 大题型解析 一、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （ 1）审题：弄清题意 （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（3）设出未知数，列出方程： 设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4） 解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的 值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案 二、一元一次方程解决应用题的分类 1.市场经济、打折销售问题 （一）知识点 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润/商品成品价 ×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－ 成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原价的 80%出售． （二）例题解析 1.某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅。经过测试：同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅， 可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐。 （1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐。 （2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由。 解：（1）设 1 个小餐厅可供 y 名学生就餐，则 1 个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐， 根据题意得： 2（1680-2y）+y=2280 解得：y=360（名） 所以 1680-2y=960（名） （2）因为 960×5+360×2=5520＞5300 ， 所以如果同时开放 7 个餐厅，能够供全校的 5300 名学生就餐。 2.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺 品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等。该工艺品每件的进价、标 价分别是多少元？ 解：设该工艺品每件的进价是 元,标价是（45+x）元。依题意，得： 8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x

解得:x=155(元) 所以45+X=200(元) 3某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时040元,若每月用电量超过a千瓦则超过部 分按基本电价的70%收费。 (1)某户八月份用电84千瓦时,共交电费3072元,求a (2)若该用户九月份的平均电费为036元,则九月份共用电多少千瓦?应交电费是多 少元? 解:(1)由题意,得0.4a+(84a)×0.40×70%=30.72 解得a=60 2)设九月份共用电x千瓦时,0.40×60+(x-60)×0,40×70%=0.36x 解得x=90 所以036×90=3240(元) 答:90千瓦时,交32.40元。 4某商店开张为吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种旅游鞋每双进价为 60元,八折出售后,商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元?优惠价是多少? 利润率=利润/成本40%=(80%X×60)60 解之得X=105 05×80%=84元 5.甲乙两件衣服的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将家服装按50%的利润定 价,乙服装按40%的利润定价,在实际销售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售, 这样商店共获利157元,求甲乙两件服装成本各是多少元? 解:设甲服装成本价为x元,则乙服装的成本价为(50-x)元,根据题意, 109×(1+50%-X+(500×(1+40%)90%-(500-x)=157 x=300 6某商场按定价销售某种电器时,每台获利48元,按定价的9折销售该电器6台与将 定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等,该电器每台进价、定价各是多少元? (48+X)90%×6-6X=(48+X-30)×99X 解之得X=162 162+48=210 7甲、乙两种商品的单价之和为100元,因为季节变化,甲商品降价10%,乙商品提价 5%,调价后,甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%,求甲、乙两种商品的原 来单价? 解:[X(1-10%)+(100-×1(1+5%)]=1001+2%) 解之得x=20

解得：x=155（元） 所以 45+x=200（元） 3.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦则超过部 分按基本电价的 70%收费。 （1）某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a （2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多 少元？ 解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72 解得 a=60 （2）设九月份共用电 x 千瓦时， 0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x 解得 x=90 所以 0.36×90=32.40（元） 答： 90 千瓦时，交 32.40 元。 4.某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为 60 元，八折出售后，商家所获利润率为 40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？ 利润率=利润/成本 40%= (80%X×60 )/60 解之得 X=105 105×80%=84 元 5.甲乙两件衣服的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将家服装按 50%的利润定 价，乙服装按 40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按 9折出售， 这样商店共获利 157 元，求甲乙两件服装成本各是多少元？ 解：设甲服装成本价为 x 元，则乙服装的成本价为（50–x）元，根据题意， 109x(1+50%) – x+(500-x)(1+40%)90% - (500 - x)=157 x=300 6.某商场按定价销售某种电器时，每台获利 48 元，按定价的 9 折销售该电器 6 台与将 定价降低 30 元销售该电器 9台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元？ (48+X)90%×6–6X=(48+X-30)×9–9X 解之得 X=162 162+48=210 7.甲、乙两种商品的单价之和为 100 元，因为季节变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高 2%，求甲、乙两种商品的原 来单价？ 解：[x(1-10%)+(100-x)(1+5%)]=100(1+2%) 解之得 x=20

8.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15 元,这种服装每件的进价是多少? 解:设这种服装每件的进价是x元,则: X(1+40%)×0.8x=15 解得x=125 2方案选择问题 (一)例题解析 1某蔬菜公司的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工 后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元,当地一家公 司收购这种蔬菜140吨,该公司的加工生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加 工16吨,如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行,受季度 等条件限制,公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种 可行方案: 方案一:将蔬菜全部进行粗加工 方案二:尽可能多地对蔬菜进行精加工,没来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售. 方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好15天完成 你认为哪种方案获利最多?为什么? 解:方案一:获利140×4500=630000(元) 方案二:获利15×6×7500+(140-15×6)×1000=725000(元) 方案三:设精加工ⅹ吨,则粗加工(140x)吨 依题意得=15解得x=6 获利60×7500+(140-60)×4500=810000(元) 因为第三种获利最多,所以应选择方案三 2某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时040元,若每月用电量超过a千瓦时,则超 过部分按基本电价的70%收费。 (1)某户八月份用电84千瓦时,共交电费3072元,求a (2)若该用户九月份的平均电费为036元,则九月份共用电多少千瓦时?应交电费是 多少元? 解:(1)由题意,得0.4a+(84a)×0.40×70%=30.72 解得a=60 (2)设九月份共用电x千瓦时,则040×60+(x-60)×040×70%=0.36X解得x=90 所以036×90=3240(元) 答:九月份共用电90千瓦时,应交电费3240元

8.一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？ 解：设这种服装每件的进价是 x 元，则： X(1+40﹪)×0.8-x=15 解得 x=125 2.方案选择问题 （一）例题解析 1.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元，经粗加工 后销售，每吨利润可达 4500 元，经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元，当地一家公 司收购这种蔬菜 140 吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加 工 16 吨，如果进行精加工，每天可加工 6 吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度 等条件限制，公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种 可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 解：方案一：获利 140×4500=630000（元） 方案二：获利 15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元） 方案三：设精加工 x 吨，则粗加工（140-x）吨 依题意得 =15 解得 x=60 获利 60×7500+（140-60）×4500=810000（元） 因为第三种获利最多，所以应选择方案三。 2.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦时，则超 过部分按基本电价的 70%收费。 （1）某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a （2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是 多少元？ 解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72 解得 a=60 （2）设九月份共用电 x 千瓦时，则 0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x 解得 x=90 所以 0.36×90=32.40（元） 答：九月份共用电 90 千瓦时，应交电费 32.40 元．

3某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型 号的电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元。 (1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下 商场的进货方案 (2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元, 销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使 销售时获利最多,你选择哪种方案? 解:按购A,B两种,B,C两种,A,C两种电视机这三种方案分别计算,设购A种电 视机X台,则B种电视机y台。 (1)①当选购A,B两种电视机时,B种电视机购(50x)台,可得方程:1500+2100 (50x)=90000 即5x+7(50x)=3002X=50x=2550x=25 ②当选购A,C两种电视机时,C种电视机购(50x)台 可得方程1500X+2500(50x)=900003X+5(50x)=1800x=3550x=15 ③当购B,C两种电视机时,C种电视机为(50y)台 可得方程2100y+2500(50y)=900021y+25(50y)=900,4y=350,不合题意 由此可选择两种方案:一是购A,B两种电视机25台;二是购A种电视机35台,C种 电视机15台 (2)若选择(1)中的方案①,可获利150×25+250×15=8750(元) 若选择(1)中的方案②,可获利150×35+250×15=900(元) 9000>8750故为了获利最多,选择第二种方案。 3储蓄、储蓄利息问题 (一)知识点 (1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和, 存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税(2)利息=本 金×利率×期数本息和=本金+利息 利息税=利息×税率(20%)(3)利润每个期 数内的利息/本金×100% (二)例题解析 1为了准备6年后小明上大学的学费2000元,他的父亲现在就参加了教育储蓄,下面 有三种教育储蓄方式 (1)直接存入一个6年期: (2)先存入一个三年期,3年后将本息和自动转存一个三年期 一年225

3.某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机．已知该厂家生产 3 种不同型 号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元，B 种每台 2100 元，C 种每台 2500 元。 （1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下 商场的进货方案。 （2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元， 销售一台 C 种电视机可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使 销售时获利最多，你选择哪种方案？ 解：按购 A，B 两种，B，C 两种，A，C 两种电视机这三种方案分别计算，设购 A 种电 视机 x 台，则 B 种电视机 y 台。 （1）①当选购 A，B 两种电视机时，B 种电视机购（50-x）台，可得方程：1500x+2100 （50-x）=90000 即 5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25 50-x=25 ②当选购 A，C 两种电视机时，C 种电视机购（50-x）台， 可得方程 1500x+2500（50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800 x=35 50-x=15 ③当购 B，C 两种电视机时，C 种电视机为（50-y）台． 可得方程 2100y+2500（50-y）=90000 21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意 由此可选择两种方案：一是购 A，B 两种电视机 25 台；二是购 A 种电视机 35 台，C 种 电视机 15 台． （2）若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+250×15=8750（元） 若选择（1）中的方案②，可获利 150×35+250×15=9000（元） 9000>8750 故为了获利最多，选择第二种方案。 3.储蓄、储蓄利息问题 （一）知识点 (1)顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和， 存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税(2)利息=本 金×利率×期数本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%）(3)利润=每个期 数内的利息/本金×100% （二）例题解析 1.为了准备 6年后小明上大学的学费 20000 元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面 有三种教育储蓄方式： (1）直接存入一个 6 年期； (2）先存入一个三年期，3 年后将本息和自动转存一个三年期； 一年 2.25

三年2.70 六年2.88 3)先存入一个一年期的,后将本息和自动转存下一个一年期;你认为哪种教育储蓄方 式开始存入的本金比较少? [分析]这种比较几种方案哪种合理的题目,我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是 多少,再进行比较 解:(1)设存入一个6年的本金是X元依题意得方程 X(1+6×2.88%)=2000,解得X=17053 (2)设存入两个三年期开始的本金为Y元, Y(1+27%×3)(1+27%×3)=2000,X=17115 (3)设存入一年期本金为Z元 Z(1+2.25%)6=20000,Z=17894 所以存入一个6年期的本金最少 2小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元,今年到期,扣除利息税后,共得 本利和约4700元,问这种债券的年利率是多少(精确到0.01%) 解:设这种债券的年利率是x,根据题意有 4500+4500×2×X×(1-20%)=4700,解得x=003 答:这种债券的年利率为3% 3白云商场购进某种商品的进价是每件8元,销售价是每件10元(销售价与进价的差 价2元就是卖出一件商品所获得的利润).现为了扩大销售量,把每件的销售价降低x% 出售,但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%,则x应等于() A.1B.1.8 C.2 D.10 点拨:根据题意列方程,得(108)×90%=10(1-x%)-8,解得x=2,故选C 4工程问题 (一)知识点 1.工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率×工作时间2.经常在 题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和=总 工作量=1 (二)例题解析 1.一项工程,甲单独做要10天完成,乙单独做要15天完成,两人合做4天后,剩下的 部分由乙单独做,还需要几天完成? 解:设还需要X天完成,依题意 得(1/10+1/15)×4+1/15X=1

三年 2.70 六年 2.88 (3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方 式开始存入的本金比较少？ [分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是 多少，再进行比较。 解：(1）设存入一个 6 年的本金是 X 元,依题意得方程 X（1+6×2.88%）=20000，解得 X=17053 (2）设存入两个三年期开始的本金为 Y 元， Y（1+2.7%×3）(1+2.7%×3）=20000，X=17115 (3）设存入一年期本金为 Z 元 ， Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894 所以存入一个 6 年期的本金最少。 2.小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券 4500 元，今年到期，扣除利息税后，共得 本利和约 4700 元，问这种债券的年利率是多少（精确到 0.01%）． 解：设这种债券的年利率是 x，根据题意有 4500+4500×2×X×（1-20%）=4700，解得 x=0.03 答：这种债券的年利率为 3％ 3.白云商场购进某种商品的进价是每件 8 元，销售价是每件 10 元（销售价与进价的差 价 2 元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，把每件的销售价降低 x% 出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的 90%，则 x 应等于（ ） A．1 B．1.8 C．2 D．10 点拨：根据题意列方程，得（10-8）×90%=10（1-x%）-8，解得 x=2，故选 C 4.工程问题 （一）知识点 1.工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间 2.经常在 题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。即完成某项任务的各工作量的和＝总 工作量＝1． （二）例题解析 1.一项工程，甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 15 天完成，两人合做 4 天后，剩下的 部分由乙单独做，还需要几天完成？ 解：设还需要 X 天完成，依题意， 得(1/10+1/15)×4+1/15X=1